Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Minimale DEAs und die Nerode-Rechtskongruenz
Die ∼ A -Äquivalenzklasse eines Zustands q ∈ Q bezeichnen wir von nun an mit
[q] A := {q ′ ∈ Q | q ∼ A q ′ }.
Auch wenn wir mit Punkt 3) des Lemma 5.4 bereits wissen, dass die Relation ∼ A berechenbar
ist, geben wir hier noch eine direktere Methode an. Wir definieren eine Folge
von Relationen ∼ 0 ,∼ 1 ,∼ 2 ,...:
• q ∼ 0 q ′
• q ∼ k+1 q ′
gdw. q ∈ F ⇔ q ′ ∈ F
gdw. q ∼ k q ′ und ∀a ∈ Σ : δ(q,a) ∼ k δ(q ′ ,a)
Diese sind (Über-)Approximationen von ∼ A im folgenden Sinn.
Behauptung.
Für alle k ≥ 0 gilt: q ∼ k q ′ gdw. für alle w ∈ Σ ∗ mit|w| ≤ k:w ∈ L(A q ) ⇔ w ∈ L(A q ′).
Beweis. Per Induktion über k:
Anfang: Nach Def. von ∼ 0 gilt q ∼ 0 q ′ gdw. ε ∈ L(A q ) ⇔ ε ∈ L(A q ′).
Schritt:
q ∼ k+1 q ′ gdw. q ∼ k q ′ und ∀a ∈ Σ : δ(q,a) ∼ k δ(q ′ ,a)
gdw. ∀w ∈ Σ ∗ mit |w| ≤ k : w ∈ L(A q ) ⇔ w ∈ L(A q ′) und
∀a ∈ Σ : ∀w ∈ Σ ∗ mit |w| ≤ k : w ∈ L(A δ(q,a) ) ⇔ w ∈ L(A δ(q ′ ,a))
gdw. ∀w ∈ Σ ∗ mit |w| ≤ k +1 : w ∈ L(A q ) ⇔ w ∈ L(A q ′)
Offensichtlich gilt Q×Q ⊇ ∼ 0 ⊇ ∼ 1 ⊇ ∼ 2 ⊇ .... Da Q endlich ist, gibt es ein k ≥ 0 mit
∼ k =∼ k+1 . Wir zeigen, dass∼ k die gewünschte Relation∼ A ist. Nach obiger Behauptung
und Definition von ∼ A gilt offensichtlich ∼ A ⊆ ∼ k . Um ∼ k ⊆ ∼ A zu zeigen, nehmen wir
das Gegenteil ∼ k ⊈ ∼ A an. Wähle q,q ′ mit q ∼ k q ′ und q ≁ A q ′ . Es gibt also ein w ∈ Σ ∗
mit w ∈ L(A q ) und w /∈ L(A q ′). Mit obiger Behauptung folgt q ≁ n q ′ für n = |w|. Da
∼ k ⊆ ∼ i für all i ≥ 0 folgt q ≁ k q ′ , ein Widerspruch.
Beispiel 5.2 (Fortsetzung)
Für den Automaten aus Beispiel 5.2 gilt:
• ∼ 0 hat die Klassen F = {q 0 ,q 1 ,q 2 } und Q\F = {q 3 }.
• ∼ 1 hat die Klassen {q 1 },{q 0 ,q 2 },{q 3 }.
Zum Beispiel ist δ(q 0 ,b) = δ(q 2 ,b) ∈ F und δ(q 1 ,b) /∈ F.
• ∼ 2 = ∼ 1 = ∼ A .
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