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NP-vollständige Probleme
Mit Punkt 2) von Satz 19.6 kann man also die NP-Härte eines Problems L nachweisen,
indem man eine Polynomialzeitreduktion eines bereits alsNP-vollständig bekannten Problems
wie SAT aufLfindet. Dies wollen wir im folgenden an einigen Beispiele illustrieren.
Wie beginnen mit einem Spezialfall von SAT, bei dem nur aussagenlogische Formeln einer
ganz speziellen Form als Eingabe zugelassen sind. Das dadurch entstehende Problem
3SAT spielt eine wichtige Rolle, da es oft einfacher ist, eine Reduktion von 3SAT auf ein
gegebenes Problem L zu finden als eine Reduktion von SAT.
Definition 19.7 (3SAT)
Eine 3-Klausel ist von der Form l 1 ∨ l 2 ∨ l 3 , wobei l i eine Variable oder eine negierte
Variable ist. Eine 3-Formel ist eine endliche Konjunktion von 3-Klauseln. 3SAT ist das
folgende Problem:
Gegeben: eine 3-Formel ϕ.
Frage: ist ϕ erfüllbar?
Satz 19.8
3SAT ist NP-vollständig.
Beweis.
1) 3SAT ∈ NP folgt unmittelbar aus SAT ∈ NP, da jedes 3SAT-Problem eine aussagenlogische
Formel ist.
2) Es sei ϕ eine beliebige aussagenlogische Formel. Wir geben ein polynomielles Verfahren
an, das ϕ in eine 3-Formel ϕ ′ umwandelt, so dass gilt:
Beachte:
ϕ erfüllbar
gdw. ϕ ′ erfüllbar.
Es ist nicht gefordert, dass ϕ und ϕ ′ im logischen Sinne äquivalent sind, also von
denselben Belegungen erfüllt werden.
Die Umformung erfolgt in mehreren Schritten, die wir am Beispiel der Formel
veranschaulichen.
Wir stellen diese Formel als Baum dar:
¬((x 1 ∧¬x 3 )∨x 2 )
x 2
x 1
x 3
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