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Abschlusseigenschaften und Pumping Lemma
Ein Ableitungsbaum kann also für mehr als eine Ableitung stehen und dasselbe Wort
kann verschiedene Ableitungsbäume haben.
Wir verzichten auf eine exakte Definition von Ableitungsbäumen, da diese eher kompliziert
als hilfreich ist. Stattdessen geben wir nur einige zentrale Eigenschaften an.
Allgemein:
Die Knoten des Ableitungsbaumes sind mit Elementen aus Σ ∪ N beschriftet. Dabei
dürfen Terminalsymbole nur an den Blättern vorkommen (also an den Knoten ohne
Nachfolger) und Nichtterminale überall (um auch partielle Ableitungen darstellen zu
können). Ein mit A beschrifteter Knoten kann mit α 1 ,...,α n beschriftete Nachfolgerknoten
haben, wenn A −→ α 1 ...α n ∈ P ist.
Ein Ableitungsbaum, dessen Wurzel mit A beschriftet ist und dessen Blätter (von links
nach rechts) mit α 1 ,...,α n ∈ Σ∪N beschriftet sind, beschreibt eine Ableitung
A ⊢ ∗ G α 1...α n .
Lemma 9.2 (Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen)
Für jede kontextfreie Sprache L gibt es ein n 0 ≥ 0 so dass gilt:
für jedes z ∈ L mit |z| ≥ n 0 existiert eine Zerlegung z = uvwxy mit:
• vx ≠ ε und |vwx| ≤ n 0
• uv i wx i y ∈ L für alle i ≥ 0.
Beweis. Sei G eine kontextfreie Grammatik mit L(G) = L. Nach Satz 8.10 und 8.12
können wir o.B.d.A. annehmen, dass G ε-frei ist und keine Kettenregeln enthält. Sei
• m die Anzahl der Nichtterminale in G;
• k eine Schranke auf die Länge der rechten Regelseiten in G;
• n 0 = k m+1 .
Wir verfahren nun wir folgt.
1) Ein Baum der Tiefe ≤ t und der Verzweigungszahl ≤ k hat maximal k t viele
Blätter:
eine Ebene: ≤ k Blätter
zwei Ebenen: ≤ k 2 Blätter
, etc.
Der Ableitungsbaum für z hat |z| ≥ k m+1 Blätter, also gibt es einen Pfad (Weg
von Wurzel zu Blatt) der Länge ≥ m+1 (gemessen in Anzahl Kanten).
2) Auf diesem Pfad kommen > m+1 Symbole vor, davon > m Nichtterminale. Da es
nur m verschiedene Nichtterminale gibt, kommt ein Nichtterminal A zweimal vor.
Dies führt zu folgender Wahl von u,v,w,x,y:
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