Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Weitere unentscheidbare Probleme
17. Weitere unentscheidbare Probleme
Die bisher als unentscheidbar nachgewiesenen Probleme beziehen sich allesamt auf (semantische)
Eigenschaften von Turingmaschinen bzw. von Programmen. Derartige Probleme
spielen im Gebiet die automatischen Programmverifikation eine wichtige Rolle.
Es gibt aber auch eine große Zahl von unentscheidbaren Problemen, die (direkt) nichts
mit Programmen zu tun haben. In diesem Abschnitt betrachten wir einige ausgewählte
Probleme dieser Art.
Das folgende von Emil Post definierte Problem ist sehr nützlich, um mittels Reduktion
Unentscheidbarkeit zu zeigen.
Definition 17.1 (Postsches Korrespondenzproblem)
Eine Instanz des Postschen Korrespondenzproblems (PKP) ist gegeben durch eine endliche
Folge
P = (x 1 ,y 1 ),...,(x k ,y k )
von Wortpaaren mit x i ,y i ∈ Σ ∗ , für ein endliches Alphabet Σ.
Eine Lösung des Problems ist eine Indexfolge i 1 ,...,i m mit
• m > 0 und
• i j ∈ {1,...,k},
so dass gilt: x i1 ···x im = y i1 ···y im .
Beispiel:
1) P 1 = (a,aaa),(abaa,ab),(aab,b)
hat z.B. die Folgen 2, 1 und 1, 3 als Lösungen
abaa|a
ab|aaa
a|aab
aaa|b
und damit auch 2, 1, 1, 3 sowie 2, 1, 2, 1, 2, 1, ...
2) P 2 = (ab,aba),(baa,aa),(aba,baa)
hat keine Lösung: jede Lösung müsste mit dem Index 1 beginnen, da in allen
anderen Paaren das erste Symbol von x i and y i verschieden ist. Danach kann man
nur mit dem Index 3 weitermachen (beliebig oft). Dabei bleibt die Konkatenation
y i1 ···y im stets länger als die Konkatenation x i1 ···x im .
Um die Unentscheidbarkeit des PKP zu zeigen, führen wir zunächst ein Zwischenproblem
ein, das modifizierte PKP (MPKP):
Hier muss für die Lösung zusätzlich i 1 = 1 gelten, d.h. das Wortpaar, mit dem man
beginnen muss, ist festgelegt.
Lemma 17.2
Das MPKP kann auf das PKP reduziert werden.
134