Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Abschlusseigenschaften und Entscheidungsprobleme
• Alle Pfade für das Eingabewort durchprobieren.
Im schlimmsten Fall gibt es |Q| |w| viele solche Pfade, also exponentiell viele. Wenn
w /∈ L(A) werden alle diese Pfade auch tatsächlich überprüft.
• Erst Potenzmengenkonstruktion anwenden, um DEA zu konstruieren.
Wie bereits erwähnt führt die exponentielle Vergrößerung des Automaten zu exponentieller
Laufzeit.
Es stellt sich allerdings heraus, dass auch das Wortproblem für NEAs effizient lösbar ist.
Wir verwenden dazu (einen Trick und) den Algorithmus für das Leerheitsproblem, das
wir im folgenden betrachten.
Leerheitsproblem
Wir betrachten hier direkt NEAs. Da jeder DEA auch ein NEA ist, können die entwickelten
Algorithmen natürlich auch für DEAs verwendet werden.
Im Gegensatz zum Wortproblem ist beim Leerheitsproblem keine konkrete Eingabe gegeben.
Es scheint daher zunächst, als müsste man alle (unendlich vielen) Eingaben durchprobieren,
was natürlich unmöglich ist. Ein einfaches Beispiel zeigt aber sofort, dass das
Leerheitsproblem sehr einfach zu lösen ist. Betrachte den folgenden NEA A:
Offensichtlich ist L(A) = ∅, da der Endzustand vom Startzustand aus gar nicht erreichbar
ist. Man überlegt sich leicht, dass auch die umgekehrte Implikation gilt: wenn
L(A) = ∅, dann ist kein Endzustand vom Startzustand aus erreichbar, denn sonst würde
die Beschriftung des den Endzustand erreichenden Pfades ein Wort w ∈ L(A) liefern.
Das Leerheitsproblem ist also nichts weiter als ein Erreichbarkeitsproblem auf gerichteten
Graphen wie dem oben dargestellten.
Das konkrete Wort, mit dem ein Endzustand erreicht wird, interessiert uns im Fall des
Leerheitsproblems meist nicht. Da wir jedoch im folgenden Aussagen über die Länge von
Pfaden treffen müssen, schreiben wir p =⇒ i A q (q wird in A von p mit einem Pfad der
Länge höchtens i erreicht) wenn p =⇒ w
A q für ein Wort w ∈ Σ ∗ mit |w| ≤ i.
Es gibt verschiedene effiziente Algorithmen für Erreichbarkeitsprobleme auf gerichteten
Graphen. Der folgende ist eine Variante von “Breitensuche” und entscheidet das
Leerheitsproblem für einen gegebenen NEA A = (Q,Σ,q 0 ,∆,F) in polynomieller Zeit.
Berechne eine Folge von Zustandsmengen P 0 ,P 1 ,... wie folgt:
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