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Normalformen und Entscheidungsprobleme
8. Normalformen und Entscheidungsprobleme
Es existieren verschiedene Normalformen für kontextfreie Grammatiken, bei denen die
syntaktische Form der Regeln weiter eingeschränkt wird, ohne dass die Klasse der erzeugten
Sprachen sich ändert. Wir werden insbesondere die Chomsky Normalform kennenlernen
und sie verwenden, um einen effizienten Algorithmus für das Wortproblem für
kontextfreie Sprachen zu entwickeln. Zudem ist jede kontextfreie Grammatik in Chomsky
Normalform auch eine Typ-1 Grammatik, was die noch ausstehende Inklusion L 2 ⊆ L 1
zeigt. Wir werden auch das Leerheitsproblem und das Äquivalenzproblem diskutieren.
Zwei Grammatiken heißen äquivalent, falls sie dieselbe Sprache erzeugen.
Zunächst zeigen wir, wie man „überflüssige“ Symbole aus kontextfreien Grammatiken
eliminieren kann. Das ist zum späteren Herstellen der Chomsky-Normalform nicht unbedingt
notwendig, es ist aber trotzdem ein natürlicher erster Schritt zum Vereinfachen
einer Grammatik.
Definition 8.1 (terminierende, erreichbare Symbole; reduzierte Grammatik)
Es sei G = (N,Σ,P,S) eine kontextfreie Grammatik.
1) A ∈ N heißt terminierend, falls es ein w ∈ Σ ∗ gibt mit A ⊢ ∗ G w.
2) A ∈ N heißt erreichbar, falls es u,v ∈ (Σ∪N) ∗ gibt mit S ⊢ ∗ G uAv.
3) G heißt reduziert, falls alle Elemente von N erreichbar und terminierend sind.
Die folgenden zwei Lemmata bilden die Grundlage zum wandeln einer kontextfreien
Grammatik in eine reduzierte Kontextfreie Grammatik.
Lemma 8.2
Für jede kontextfreie Grammatik G = (N,Σ,P,S) kann man die Menge der terminierenden
Symbole berechnen.
Beweis. Wir definieren dazu
T 1 := {A ∈ N | ∃w ∈ Σ ∗ : A −→ w ∈ P}
T i+1 := T i ∪{A ∈ N | ∃w ∈ (Σ∪T i ) ∗ : A −→ w ∈ P}
Es gilt
T 1 ⊆ T 2 ⊆ ··· ⊆ N.
Da N endlich ist, gibt es ein k mit T k = T k+1 = ⋃ T i .
Behauptung:
T k = {A ∈ N | A ist terminierend}, denn:
„⊆“: Zeige durch Induktion über i: alle Elemente von T i , i ≥ 1, terminierend:
i≥1
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