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Einige Komplexitätsklassen
18. Einige Komplexitätsklassen
Eine Komplexitätsklasse ist eine Klasse von Entscheidungsproblemen, die mit einer bestimmten
„Menge“ einer Ressource gelöst werden können. Wir führen zunächst ein allgemeines
Schema zur Definition von Komplexitätsklassen ein und fixieren dann einige
fundamentale Zeit- und Platzkomplexitätsklassen. Im Gegensatz zur Berechenbarkeit
ist es in der Komplexitätstheorie sehr wichtig, zwischen deterministischen und nichtdeterministischen
Turingmaschinen zu unterscheiden.
Zunächst führen wir formal ein, was es heißt, dass der Aufwand durch eine Funktion der
Größe der Eingabe beschränkt ist.
Definition 18.1 (f(n)-zeitbeschränkt, f(n)-platzbeschränkt)
Es sei f : N → N eine Funktion und A eine DTM über Σ.
1) A heißt f(n)-zeitbeschränkt, falls für alle w ∈ Σ ∗ die Maschine A bei Eingabe w
nach ≤ f(|w|) Schritten anhält.
2) A heißt f(n)-platzbeschränkt, falls für alle w ∈ Σ ∗ die Maschine A bei Eingabe w
≤ f(|w|) viele Felder des Bandes benutzt.
Auf NTM kann man die Definition dadurch übertragen, dass die Aufwandsbeschränkung
für alle bei der gegebenen Eingabe möglichen Berechnungen zutreffen muss. Beachte
dass eine f(n)-zeitbeschränkte TM auf jeder Eingabe terminiert; für eine f(n)-
platzbeschränkte TM muß das nicht unbedingt der Fall sein.
Definition 18.2 (Komplexitätsklassen)
DTIME(f(n)) := {L | es gibt eine f(n)-zeitbeschränkte DTM A mit L(A) = L}
NTIME(f(n)) := {L | es gibt eine f(n)-zeitbeschränkte NTM A mit L(A) = L}
DSPACE(f(n)) := {L | es gibt eine f(n)-platzbeschränkte DTM A mit L(A) = L}
NSPACE(f(n)) := {L | es gibt eine f(n)-platzbeschränkte NTM A mit L(A) = L}
Wegen der Bemerkung vor Definition 18.2 enthalten alle Komplexitätsklassen der Form
DTIME(f(n)) und NTIME(f(n)) nur entscheidbare Probleme. Man kann zeigen, dass das
auch für alle Klassen der Form DSPACE(f(n)) und NSPACE(f(n)) gilt.
Im folgenden Beobachten wir einige elementare Zusammenhänge zwischen Komplexitätsklassen.
Satz 18.3
1) DTIME(f(n)) ⊆ DSPACE(f(n)) ⊆ NSPACE(f(n))
2) DTIME(f(n)) ⊆ NTIME(f(n))
3) NSPACE(f(n)) ⊆ DTIME(2 O(f(n)) ) wenn f(n) von einer f(n)-zeitbeschränkten DTM
berechnet werden kann. 1
1 Wobei sowohl die Eingabe als auch die Ausgabe unär kodiert sind.
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