Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Einige Komplexitätsklassen
Die NTM akzeptiert also die Eingabe, wenn es möglich ist, so zu raten, dass die Berechnung
erfolgreich ist (in akzeptierender Stoppkonfiguration endet). Man kann sich
vereinfachend vorstellen, dass die Maschine richtig rät, sofern dies überhaupt möglich
ist. Man beachte aber, dass eine polyzeitbeschränkte NTM nur ein polynomiell großes
Wort raten kann und dass man deterministisch in Polyzeit prüfen können muß, ob richtig
geraten wurde. So ist es zum Beispiel möglich, zu raten, ob eine gegebene TM auf dem
leeren Band anhält, aber es ist dann nicht möglich zu überprüfen, ob richtig geraten
wurde.
Man mag sich fragen, ob es sinnvoll ist, die Komplexitätsklassen P und NP basierend auf
Turingmaschinen zu definieren. Könnte es nicht sein, dass man ein Problem in einer modernen
Programmiersprache wie Java mit viel weniger Berechnungsschritten lösen kann
als auf einer TM? Interessanterweise scheint das nicht der Fall zu sein: für alle bekannten
Berechnungsmodelle gilt, dass sie sich gegenseitig mit höchstens polynomiellem Mehraufwand
simulieren können. Dies führt zu folgender Verschärfung der Church-Turing-These.
Erweiterte Church-Turing-These:
Für jedes “vernünftige und vollständige” Berechnungsmodell gibt es ein Polynom p, so
dass gilt: jedes Problem, das in diesem Modell von einem f(n)-zeitbeschränkten Algorithmus
entschieden werden kann, kann mittels einer p(f(n))-zeitbeschränkten Turingmaschine
entschieden werden, und umgekehrt.
Die erweiterte Church-Turing-These hat denselben Status wie die ursprüngliche Church-
Turing-These: sie bezieht sich auf formal nicht definierte Begriffe (wie “vernünftiges
Berechnungsmodell”) und kann daher nicht bewiesen werden. Sie wird dennoch als gültig
angenommen, da bis heute kein Gegenbeispiel gefunden werden konnte.
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