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Berechenbarkeit
versteht. Zunächst gibt es scheinbar sehr viele Kandidaten für das zugrunde gelegte Berechnungsmodell:
Eine Programmiersprache? Welche der vielen Sprachen ist geeignet?
Imperativ, funktional, objektorientiert? Verwendet man ein hardwarenahes Modell, wie
etwa das Modell eines Mikroprozessors? Oder ein abstraktes mathematisches Modell?
Es stellt sich heraus, dass ein geeignetes Berechnungsmodell folgende Eigenschaften erfüllen
sollte:
1) es sollte einfach sein, damit formale Beweise erleichtert werden (z.B. nicht die
Programmiersprache Java),
2) es sollte berechnungsuniversell sein, d.h. alle intuitiv berechenbaren Funktionen
können damit berechnet werden (bzw. alle intuitiv entscheidbaren Mengen
entschieden werden können)—also keine endlichen Automaten, denn deren Berechnungsstärke
ist viel zu schwach.
Wir werden drei Berechnungsmodelle betrachten:
• Turingmaschinen als besonders einfaches aber dennoch berechnungsuniverselles
Modell
• WHILE-Programme als Abstraktion imperativer Programmiersprachen (im Prinzip
handelt es sich um eine möglichst einfache, aber immernoch berechnungsuniverselle
solche Sprache)
• µ-rekursive Funktionen als funktionsbasiertes, mathematisches Berechnungsmodell.
Es gibt noch eine Vielzahl anderer Modelle: Registermaschinen, GOTO-Programme, k-
Zählermaschinen mit k ≥ 2, Java-Programme, usw. Es hat sich aber interessanterweise
herausgestellt, dass all diese vollkommen unterschiedlichen Modelle äquivalent sind, d.h.
dieselbe Klasse von Funktionen berechnen (bzw. Problemen entscheiden). Zudem ist es
bisher niemandem gelungen, ein formales Berechnungsmodell zu finden, das
• realistisch erscheint (also im Prinzip in der wirklichen Welt realisierbar ist),
• Funktionen berechnen kann, die in den oben genannten Modellen nicht berechenbar
sind.
Aus diesen beiden Gründen geht man davon aus, dass die genannten Modelle genau den
intuitiven Berechenbarkeitsbegriff formalisieren. Diese Überzeugung nennt man die:
Church-Turing-These:
Die (intuitiv) berechenbaren Funktionen sind genau die mit Turingmaschinen (und damit
mit WHILE-, Java-Programmen, Registermaschinen, ...) berechenbaren Funktionen.
Man könnte die These äquivalent auch für Entscheidungsprobleme formulieren. Man
spricht hier von einer These und nicht von einem Satz, da es nicht möglich ist, diese
Aussage formal zu beweisen. Dies liegt daran, dass der intuitive Berechenbarkeitsbegriff
ja nicht formal definierbar ist. Es gibt aber gute Indizien, die für die Richtigkeit der
These sprechen, insbesondere die große Vielzahl existierender Berechnungsmodelle, die
sich als äquivalent herausgestellt haben.
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