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Turingmaschinen
• Gilt k ⊢ A k ′ , so heißt k ′ Folgekonfiguration von k.
• Die Konfiguration αqβ heißt akzeptierend, falls q ∈ F.
• Die Konfiguration αqβ heißt Stoppkonfiguration, falls sie keine Folgekonfiguration
hat.
• Eine Berechnung von A ist eine endliche oder unendliche Konfigurationsfolge
k 0 ⊢ A k 1 ⊢ A k 2 ⊢ A ···
Offensichtlich gibt es für DTMs nur eine einzige maximale Berechnung, die in einer fixen
Konfiguration k 0 beginnt; für NTMs kann es dagegen mehrere solche Berechnungen
geben.
Die folgende Definition formalisiert beide Anwendungen von Turingmaschinen: das Berechnen
von Funktionen und das Erkennen von Sprachen. Im ersten Fall steht die Eingabe
(w 1 ,...,w n ) in Form des Wortes w 1̸ bw 2̸ b···̸ bw n auf dem Band, wobei sich der Kopf
zu Anfang auf dem ersten (linkeststehenden) Symbol von w 1 befindet. Nachdem die Maschine
eine Stoppkonfiguration erreicht hat, findet sich die Ausgabe ab der Kopfposition
bis zum ersten Symbol aus Γ\Σ. Beim Erkennen von Sprachen steht das Eingabewort
w auf dem Band und der Kopf befindet sich anfangs über dem ersten Symbol von w.
Ein positives Berechnungsergebnis wird dann über das Stoppen in einem Endzustand
signalisiert.
Definition 11.2 (Turing-berechenbar, Turing-erkennbar)
1) Die partielle Funktion f : (Σ ∗ ) n → Σ ∗ heißt Turing-berechenbar, falls es eine DTM
A gibt mit
a) der Definitionsbereich dom(f) von f besteht aus den Tupeln (w 1 ,...,w n ) ∈
(Σ ∗ ) n so dass A ab der Konfiguration
eine Stoppkonfiguration erreicht.
k 0 = q 0 w 1̸ bw 2̸ b...̸ bw n
b) wenn(x 1 ,...,x n ) ∈ dom(f), dann hat die vonk 0 erreichte Stoppkonfiguration
k die Form uqxv mit
– x = f(w 1 ,...,w n )
– v ∈ (Γ\Σ)·Γ ∗ ∪{ε}
2) Die von der NTM A erkannte Sprache ist
L(A) = {w ∈ Σ ∗ | q 0 w ⊢ ∗ A k, wobei k akzeptierende Stoppkonfiguration ist}.
Eine Sprache L ⊆ Σ ∗ heißt Turing-erkennbar, falls es eine NTM A gibt mit L =
L(A).
Nach Punkt b) dürfen vor und nach der Ausgabe des Funktionswertes noch Überbleibsel
der Berechnung stehen. Beispielsweise entspricht die Stoppkonfigurationaaaqbaabc̸ bacbca
der Ausgabe baabc wenn Σ = {a,b,c}. Per Definition werden Endzustände nur für das
Erkennen von Sprachen verwendet werden, aber nicht für das Berechnen von Funktionen.
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