Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Minimale DEAs und die Nerode-Rechtskongruenz
• q ′ 0 := [ε] L
• δ ′ ([u] L ,a) := [ua] L (repräsentantenunabhängig wegen Lemma 5.10, Punkt 2)
• F ′ := {[u] L | u ∈ L}
Man beachte, dassA L mit Punkt 4 von Lemma 5.10 eine minimale Anzahl von Zuständen
hat: es gibt keinen DEA, der L(A L ) erkennt und weniger Zustände hat.
Beispiel 5.9 (Fortsetzung)
Für die Sprache L = b ∗ a ∗ ergibt sich damit folgender kanonischer Automat A L :
b
a
a,b
[ε] L
a
[a] L
b
[ab] L
Lemma 5.12
Hat ≃ L endlichen Index, so ist A L ein DEA mit L = L(A L ).
Beweis. Es gilt:
L(A L ) = {u | δ ′ (q ′ 0,u) ∈ F ′ }
= {u | δ ′ ([ε] L ,u) ∈ F ′ } (Def. q ′ 0)
= {u | [u] L ∈ F ′ } (wegen δ ′ ([ε] L ,u) = [u] L )
= {u | u ∈ L} (Def. F ′ )
= L
Das folgende Resultat ist eine interessante Anwendung der Nerode-Rechtskongruenz und
des kanonischen Automaten. Es liefert eine Charakterisierung von erkennbaren Sprachen,
die vollkommen unabhängig von endlichen Automaten ist.
Satz 5.13 (Satz von Myhill und Nerode)
Eine Sprache L ist erkennbar
Beweis.
gdw. ≃ L endlichen Index hat.
„⇒“: Ergibt sich unmittelbar aus Lemma 5.10, 4).
„⇐“: Ergibt sich unmittelbar aus Lemma 5.12, da A L DEA ist, der L erkennt.
Der Satz von Nerode liefert uns als Nebenprodukt eine weitere Methode, von einer
Sprache zu beweisen, dass sie nicht erkennbar ist.
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