Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Endliche Automaten
• Σ ein Eingabealphabet ist,
• q 0 ∈ Q der Anfangszustand ist,
• ∆ ⊆ Q×Σ×Q die Übergangsrelation ist,
• F ⊆ Q eine Menge von Endzuständen ist.
Beispiel 1.9
Folgenden NEA werden wir im folgenden als durchgängiges Beispiel verwenden:
Dieser Automat ist kein DEA, da es an der Stelle q 0 für die Eingabe a zwei mögliche
Übergänge gibt.
Um das Akzeptanzverhalten von NEAs zu beschreiben, verwenden wir eine etwas andere
Notation als bei DEAs.
Definition 1.10 (Pfad)
Ein Pfad in einem NEA A = (Q,Σ,q 0 ,∆,F) von einem Zustand p 0 ∈ Q zu einem
Zustand p n ∈ Q ist eine Folge
a
π = p
1 a
0 −→A p
2 a
1 −→A ···
n
−→A p n
so dass (p i ,a i+1 ,p i+1 ) ∈ ∆ für i = 0,...,n − 1. Der Pfad hat die Beschriftung w :=
a 1···a n . Wenn es in A einen Pfad von p nach q mit der Beschriftung w gibt, so schreiben
wir
p =⇒ w
A q.
Für n = 0 sprechen wir vom leeren Pfad, welcher die Beschriftung ε hat.
Im NEA aus Beispiel 1.9 gibt es unter anderem folgende Pfade für die Eingabe aba:
π 1 = q 0
a
−→ A q 1
b
−→ A q 2
a
−→ A q 3
π 2 = q 0
a
−→ A q 0
b
−→ A q 0
a
−→ A q 1
Wie erwähnt basiert das Akzeptanzverhalten bei Nichtdeterminismus immer auf existentieller
Quantifizierung.
Definition 1.11 (Akzeptiertes Wort, erkannte Sprache)
Der NEA A = (Q,Σ,q 0 ,∆,F) akzeptiert das Wort w ∈ Σ ∗ wenn q 0 =⇒ A q f für ein
a
q f ∈ F; mit anderen Worten: wenn es einen Pfad p
1 a
0 −→A ···
n
−→A p n gibt so dass
p 0 = q 0 und p n ∈ F. Die von A erkannte Sprache ist L(A) = {w ∈ Σ ∗ | A akzeptiert w}.
w
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