Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Weitere unentscheidbare Probleme
Beweis. Wir reduzieren das PKP auf das Komplement des Schnitt-Leerheitsproblems,
d.h. wir zeigen:
Zu jeder gegebenen InstanzP des PKP kann eine TM kontextfreie GrammatikenG (l)
P ,G(r) P
konstruieren, so dass gilt:
P hat Lösung
gdw. L(G (l)
P )∩L(G(r) P ) ≠ ∅.
Da das PKP unentscheidbar ist und ein Problem entscheidbar ist gdw. sein Komplement
entscheidbar ist, folgt die Aussage des Lemmas.
Es sei P = (x 1 ,y 1 ),...,(x k ,y k ). Wir definieren G (l)
P = (N l,Σ l ,P l ,S l ) mit
• N l = {S l },
G (r)
P
• Σ l = Σ∪{1,...,k} und
• P l = {S l −→ w i S l i,S l −→ w i i | 1 ≤ i ≤ k}.
wird entsprechend definiert. Es gilt:
L(G (l)
P ) = {x i 1
...x im i m ...i 1 | m ≥ 1,i j ∈ {1,...,k}}
L(G (r)
P ) = {y i 1
...y im i m ...i 1 | m ≥ 1,i j ∈ {1,...,k}}
Daraus folgt nun unmittelbar:
L(G (l)
P )∩L(G(r) P ) ≠ ∅
gdw. ∃m ≥ 1 ∃i 1 ,...,i m ∈ {1,...,k} : x i1 ...x im i m ...i 1 = y i1 ...y im i m ...i 1
gdw. P hat Lösung.
Beachte, dass man das Schnitt-Leerheitsproblem für kontextfreie Sprachen nicht einfach
auf das Leerheitsproblem für kontextfreie Sprachen reduzieren kann, denn die kontextfreien
Sprachen sind nicht unter Schnitt abgeschlossen.
Wir wissen jedoch bereits, dass jede kontextfreie Sprache auch kontextsensitiv ist und
dass die kontextsensitiven Sprachen unter Schnitt abgeschlossen sind (Satz 12.6). Daraus
folgt der folgende Satz.
Satz 17.6
Für kontextsensitive Grammatiken sind das Leerheitsproblem und das Äquivalenzproblem
unentscheidbar.
Beweis. Es existiert eine einfache Reduktion des Schnitt-Leerheitsproblems kontextfreier
Sprachen auf das Leerheitsproblem kontextsensitiver Sprachen: gegeben kontextfreie
Grammatiken G 1 und G 2 , konstruiere kontextsensitive Grammatik G mit L(G) =
L(G 1 )∩L(G 2 ) (zum Beispiel mittels Umweg über linear beschränkte Automaten), entscheide
dann ob L(G) = ∅.
Das Leerheitsproblem ist ein Spezialfall des Äquivalenzproblems, da
L(G) = ∅ gdw. L(G) = L(G ∅ ) (G ∅ : kontextsensitive Grammatik mit L(G ∅ ) = ∅).
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