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Aussagenlogik
Definition B.8 (Auswertungs-, Erfüllbarkeits-, Gültigkeitsproblem)
• Auswertungsproblem: gegeben eine Formel ϕ und eine Belegung B der Variablen
in ϕ, entscheide, ob ϕ von B erfüllt wird.
• Erfüllbarkeitsproblem: gegeben eine Formel ϕ, entscheide, ob ϕ erfüllbar ist.
• Gültigkeitsproblem: gegeben eine Formel ϕ, entscheide, ob ϕ gültig ist.
Das Auswertungsproblem läßt sich recht effizient lösen. Insbesondere legt die Semantik
der Aussagenlogik in Definition B.2 unmittelbar einen rekursive Algorithmus nahe. Um
beispielsweise die Formel ϕ∧ψ auszuwerten, wertet man rekursiv die Formeln ϕ und ψ
aus und kombiniert das Ergebnis gemäß der Wahrheitstabelle für Konjunktion. Dieser
Algorithmus benötigt offensichtlich nur polynomiell viel Zeit. Es gilt also folgendes.
Satz B.9
Das Auswertungsproblem der Aussagenlogik kann in polynomieller Zeit gelöst werden.
Das Erfüllbarkeits- und das Gültigkeitsproblem sind von gänzlich anderer Natur. Einen
naiven Algorithmus für das Erfüllbarkeitsproblem erhält man, indem man alle Belegungen
B für die Variablen in der Eingabeformel aufzählt und für jede Belegung (in
polynomieller Zeit) prüft, ob sie ϕ erfüllt. Da es exponentiell viele Belegungen gibt, ist
das aber offensichtlich kein Polynomialzeitalgorithmus. Es ist auch nicht bekannt, ob es
einen Polynomialzeitalgorithmus für das Erfüllbarkeitsproblem gibt; man vermutet aber,
dass das nicht der Fall ist (dasselbe gilt für das Gültigkeitsproblem). Das ist sogar dann
der Fall, wenn die Erfüllbarkeit von Formeln in KNF entschieden werden soll oder die
Gültigkeit von Formeln in DNF. Wir werden das im Kapitel über Komplexitätstheorie
weiter diskutieren.
Im folgenden beobachten wir noch kurz, dass die umgekehrten Fälle, also die Erfüllbarkeit
von Formeln in DNF und die Gültigkeits von Formeln in KNF, leicht in polynomieller
Zeit entscheidbar sind.
Satz B.10
1. Eine DNF-Formel ist erfüllbar gdw. es ein Disjunkt gibt, das keine Literale der
Form x,¬x enthält.
2. Eine KNF-Formel ist gültig gdw. jedes Konjunkt zwei Literale der Form x,¬x
enthält.
Den sehr einfachen Beweis dieses Satzes lassen wir als Übung.
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