Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

NP-vollständige Probleme
Wenn m < p(n) (die Berechnung endet vor der maximal möglichen Anzahl von
Schritten), dann verlängere die Folge k 0 ,k 1 ,...,k m zuvor zu k 0 ,k 1 ,...,k p(n) durch
p(n)−m-maliges Wiederholen der Konfiguration k m .
Indem man alle Konjunkte von ϕ w durchgeht, überprüft man leicht, dass die erhaltene
Belegung ϕ w erfüllt. Also ist ϕ w erfüllbar.
“⇒” Aus einer Belegung der Variablen B a,i,t , K i,t , Z q,t , die ϕ w erfüllt, liest man eine
Konfigurationsfolge k 0 ⊢ A k 1 ⊢ A ··· ⊢ A k m ab, zum Beispiel:
Die i-te Zelle in k t wird mit a beschriftet wenn B a,i,t ↦→ 1.
Die Konfigurationsfolge endet, sobald ein Stoppzustand abgelesen wurde. Unter
Verwendung der Tatsache, dass die Belegung alle Konjunkte von ϕ w erfüllt, zeigt
man nun leicht, dass es sich bei der abgelesenen Konfigurationsfolge um eine akzeptierende
Berechnung von A auf w handelt.
Analog zu unserem Vorgehen bei der Unentscheidbarkeit erhalten wir weitereNP-vollständige
Probleme durch polynomielle Reduktion von bereits als NP-vollständig nachgewiesenen
Problemen wie SAT. Dies beruht auf Punkt 2) des folgenden Satzes, der die wichtigsten
Zusammenhänge von NP und Polynomialzeitreduktionen zusammenfasst.
Satz 19.6
1) Ist L 2 ∈ NP und gilt L 1 ≤ p L 2 , so ist auch L 1 in NP.
2) Ist L 1 NP-hart und gilt L 1 ≤ p L 2 , so ist auch L 2 NP-hart.
Beweis.
1) Wegen L 2 ∈ NP gibt es eine polynomialzeitbeschränkte NTM A, die L 2 akzeptiert.
Wegen L 1 ≤ p L 2 gibt es eine Polynomialzeitreduktion f von L 1 auf L 2 , also
w ∈ L 1 gdw. f(w) ∈ L 2 .
Die polynomialzeitbeschränkte NTM für L 1 arbeitet wie folgt:
• Bei Eingabe w berechnet sie zunächst f(w).
• Dann wendet sie A auf f(w) an.
2) SeiL 1 NP-hart undL 1 ≤ p L 2 . Wähle einL ∈ NP. Wir müssen zeigen, dassL ≤ p L 2 .
Da L 1 NP-hart, gilt L ≤ p L 1 . Mit L 1 ≤ p L 2 und Lemma 19.2 folgt wie gewünscht
L ≤ p L 2 .
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