Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Chapter 5
Bonus Tracks
This chapter collects some extra material beyond the scope of the present lecture.
In particular on
• Relaxation of integral functionals in Section 5.1,
• an alternative approach to Young measures and some generalizations in
Section 5.2 and
• microstructures and laminates in Section 5.3.
5.1 Relaxation
Wir untersuchen nun Integralfunktionale, deren Integranden nicht einmal quasikonvex
sind. Im Allgemeinen nehmen diese Funktionale ihr Minimum nicht an. Obgleich
das auf den ersten Blick pathologisch erscheint, werden wir sehen, dass gerade
die Nicht-Existenz von Minimierern ein Indikator für interessante physikalische
Phänomene wie etwa die Ausbildung von Mikrostrukturen in Materialien
darstellen kann.
Beispiel: Betrachte das eindimensionale Variationsproblem
Minimiere I(w) =
∫ 1
0
f(w(x)) dx unter der Nebenbedingung
∫ 1
0
w(x) dx = α.
Ist f ≥ 0 eine Funktion mit mehr als einem Minimierer, etwa f(z 1 ) = f(z 2 ) = 0,
so kann ein solches Funktional als Modell für ein physikalisches System dienen,
dass sich bevorzugt (also mit geringer Energie) in den ‘Phasen’ w = z 1 oder
w = z 2 aufhält, wobei der Mittelwert ∫ 1
w = α festgelegt ist, so dass sich das
0
System i.A. nicht ausschließlich in ‘Phase z 1 ’ bzw. ‘Phase z 2 ’ aufhalten kann.
Mit Hilfe der Jensenschen Ungleichung sieht man, dass
∫ ∫ (∫ )
f(w) ≥ f ∗∗ (w) ≥ f ∗∗ w = f ∗∗ (α)
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