Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Note that if µ(Ω) < ∞, then (i) is trivial and one has:
F is equintegrable
∫
⇔ lim sup |f| dµ
Mր∞ f∈F
{|f|≥M}
ϕ(t)
⇔∃ monotone ϕ : [0, ∞) → [0, ∞] with lim = ∞ and C > 0 such that
∫
t→∞ t
ϕ(|f|) ≤ C ∀ f ∈ F.
Ω
We finally mention (without proof) the Dunford-Pettis theorem.
Theorem 2.14 F ⊂ L 1 (Ω, µ) relatively weakly sequentially compact if and only
if F is equiintegrable.
2.3 Distributionen
Distributionen sind ‘verallgemeinerte Funktionen’. Während wir bisher Funktionen
und ihre Ableitungen untersucht haben, werden wir den Gegenstand unserer
Untersuchungen nun wesentlich verallgemeinern. Schon in der Theorie der
Sobolevräume (vgl. [Sch 10]) haben wir gesehen, dass es von großem Nutzen sein
kann, auch nicht-glatte Funktionen in einem verallgemeinerten Sinne zu differenzieren.
So ist etwa im schwachen Sinne f : R → R, f(x) = |x|, differenzierbar
mit
{
f ′ −1, x < 0,
(x) :=
1, x > 0.
f ′′ ist nun jedoch noch nicht einmal im schwachen Sinne mehr definiert: Es kann
keine L 1 ′′
loc-Funktion g geben, so dass f = g ist, denn g müsste gleich 0 auf
(−∞, 0) und auf (0, ∞) sein, somit g = 0 fast überall. f ′ ist aber nicht konstant.
Um auch solche Funktionen noch differenzieren zu können, müssen wir die
Klasse der Funktionen geeignet verallgemeinern: Wir werden die Menge der Distributionen
D einführen, deren Elemente wir als ‘verallgemeinerte Funktionen’
verstehen. Es wird sich herausstellen, dass f ′′ tatsächlich sinnvoll zu definieren
ist, allerdings nicht als Funktion auf R.
Die wohl wichtigste Eigenschaft einer Distribution ist, dass sie unendlich oft
differenzierbar ist. Aber auch andere auf Funktionen definierte Operationen
haben eine natürliche Entsprechung auf den verallgemeinerten Funktionen, die
wir im Folgenden untersuchen werden.
Ausgangspunkt für die Definition einer verallgemeinerten Funktion auf Ω ⊂
R n (offen) ist die Beobachtung, dass f ∈ L 1 loc (Ω) durch die Werte
∫
fϕ, ϕ ∈ D(Ω) := Cc ∞ (Ω)
Ω
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