Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

D(R n ). Correspondingly we identify a new class S ′ of tempered distributions
which act as linear functionals on S. Roughly speaking this class consists of
those (normal) distributions, which do not grow too fast at infinity.
Definition 2.44
wobei ‖ · ‖ N die Norm
bezeichnet.
(i) Der Schwartz-Raum S ist definiert durch
S := {ϕ ∈ C ∞ (R n ) : ‖ϕ‖ N < ∞ ∀ N ∈ N},
‖ϕ‖ := max
|α|,|β|≤N sup
x∈R n |x α ∂ β ϕ(x)|
(ii) Eine Folge (ϕ j ) ⊂ S von Schwartz-Funktionen konvergiert in S gegen ϕ ∈
S, wenn ‖ϕ j − ϕ‖ N → 0 f”ur alle N ∈ N.
Beispiele:
1. Offenbar ist D(R n ) ⊂ S. Die Funktion x ↦→ e −x2 aber liegt in S, jedoch
nicht in D(R n ).
2. Gilt ϕ k → ϕ in D(R n ), so gilt auch ϕ k → ϕ in S. (Der Beweis ist einfach.)
Remark 2.45 S ist ein lokalkonvexer Raum, dessen Topologie von der Familie
der Normen (‖ · ‖ N ) N∈N induziert wird. Es gibt eine Metrik, die diese Topologie
erzeugt. D(R n ) liegt dicht in S. (Übung!)
Lemma 2.46 (i) Ist ϕ ∈ S, so ist auch x ↦→ x α ∂ β ϕ(x) ∈ S für alle Multiindizes
α, β.
(ii) Für jeden Sobolevraum W k,p (R n ) mit k ∈ N 0 und 1 ≤ p ≤ ∞ gilt S ⊂
W k,p (R n ) und es gibt eine Konstante C = C(k, p, n) und ein N = N(k, p, n),
so dass
‖ϕ‖ W k,p (R n ) ≤ C‖ϕ‖ N ∀ ϕ ∈ S.
(iii) ϕ, ψ ∈ S =⇒ ϕψ ∈ S.
Proof. (i) und (iii) sind einfach (Leibniz-Regel!).
(ii) Seien ϕ ∈ S und α ein Multiindex mit |α| ≤ k. Es gilt
∫ ∫ ∫
|∂ α ϕ| p ≤ |∂ α ϕ| p + |∂ α ϕ| p
R n B 1 (0)
R n \B 1 (0)
∫
≤ |B 1 (0)| sup |∂ α ϕ(x)| p + |x| −n−1 |x| n+1 |∂ α ϕ(x)| p dx
≤ C‖ϕ‖ p k +
x∈B 1 (0)
R n \B 1 (0)
sup |x| n+1 |∂ α ϕ(x)| p ·
x∈R n \B 1 (0)
≤ C‖ϕ‖ p k + C‖ϕ‖p max{k,n+1}
∫
R n \B 1 (0)
|x| −n−1 dx
≤ C‖ϕ‖ p max{k,n+1} . 36