Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

2. Eine (technisch etwas kompliziertere) Version dieses Satzes gilt auch für
|Ω| = ∞.
3. Gilt ∫ Φ(|w Ω k|) ≤ C für ein Φ : [0, ∞) → R mit Φ(t) → ∞ für t → ∞, so
ist lim M→∞ sup k |{|w k | ≥ M}| = 0: Zu ε > 0 wähle M ε , so dass Φ(t) ≥ ε −1
für t > M ε gilt. Dann ist
∫
sup
k
|{|w k | ≥ M}| ≤ sup ε
k
{|w k |≥M}
Φ(|w k |) ≤ Cε ∀ M ≥ M ε .
4. Aus (v) ergibt sich: Ist (w k ) beschränkt in L p und f ∈ C(R d ) mit |f(y)| ≤
C(1 + |y| q ), q < p, dann gilt
f(w kj ) ⇀ ¯f in L p q .
Das folgt aus der Tatsache, dass f(w kj ) beschränkt in L p q
ist: Einerseits
impliziert dies, dass f(w kj ) relativ schwach folgenkompakt in L 1 ist, so dass
nach (v) f(w kj ) ⇀ ¯f in L 1 gilt. Andererseits erhält man daraus, dass jede
Teilfolge eine in L p q konvergente Teilfolge besitzt. Zusammen ergibt sich die
Behauptung.
Für p > 1, f = id zeigt dies
w kj ⇀ w in L p , w(x) = 〈ν x , id〉.
Proof. (i) & (ii) Setze W k (x) := δ wk (x). Dann ist ‖W k (x)‖ M = 1 für alle x
und x ↦→ 〈W k (x), f〉 = f(w k (x)) messbar für alle f ∈ C 0 . Damit ist (W k ) als
Folge in L ∞ w ∗(Ω; M(Rd )) = (L 1 (Ω; C 0 (R d ))) ′ erkannt mit ‖W k ‖ L ∞
w ∗ (Ω;M) = 1. Da
nun L 1 (Ω; C 0 (R d )) separabel ist, ist die schwach*-Topologie auf beschränkten
Teilmengen von L ∞ w ∗(Ω; M(Rd )) metrisierbar und wir erhalten aus dem Satz von
Alaoglu eine konvergente Teilfolge W ∗ kj ⇀ ν mit ‖ν‖ L ∞
w ∗ (Ω;M) ≤ 1.
Für ϕ ∈ L 1 (Ω), f ∈ C 0 (R d ) betrachte die Funktion ϕ ⊗ f ∈ L 1 (Ω; C 0 (R d )),
definiert durch ϕ ⊗ f(x) = ϕ(x)f ∈ C 0 (R d ). Es gilt
∫
∫
∫
ϕ(x)f(w kj (x)) dx = ϕ(x)〈W kj (x), f〉 dx = 〈W kj (x), ϕ ⊗ f〉 dx
Ω
∫Ω
∫
Ω
→ 〈ν x , ϕ ⊗ f〉 dx = ϕ(x)〈ν x , f〉 dx
für j → ∞, was (ii) zeigt.
Des Weiteren zeigt diese Rechnung
∫
ϕ(x)〈ν x , f〉 dx ≥ 0 ∀ ϕ ≥ 0 ∀ f ≥ 0.
Ω
Ω
Ω
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