Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

nach unten abgeschätzt werden kann, wobei f ∗∗ die konvexe Einhüllende von f
bezeichne. Diese Abschätzung ist in der Tat scharf, denn zu ε > 0 kann man
w 1 , w 2 ∈ R und λ ∈ [0, 1] wählen mit
α = λw 1 + (1 − λ)w 2 , f ∗∗ (α) ≥ λf(w 1 ) + (1 − λ)f(w 2 ) − ε,
so dass für
gilt
∫
w(x) =
{
w 1 , x ∈ (0, λ),
w 2 , x ∈ (λ, 1),
f(w) = λf(w 1 ) + (1 − λ)f(w 2 ) ≤ f ∗∗ (α) + ε.
Ist man also nur am Minimalwert des Problems interessiert, so kann man
das Funktional I(w) = ∫ f(w) durch das analytisch gutartigere ‘relaxierte’ Funktional
I rel (w) := ∫ f ∗∗ (w) ersetzen.
Für w = y ′ lässt sich dieses Funktional als ein elastisches Energiefunktional
I(y) = ∫ 1
0 f(y′ ) für einen (eindimensionalen) elastischen Stab interpretieren.
‘Bevorzugte Phasen’ von f sind dann Deformationen minimaler Energie. Beachte
dass hier die Nebenbedingung ∫ y ′ = α gerade die Randbedingung y(1)−y(0) = α
ist. Es wird also die Frage untersucht, welche Energie nötig ist, um den Stab auseinanderzuziehen
bzw. zusammenzudrücken.
Ziel dieses Abschnitts ist es, die in diesem Beispiel beschriebene Vorgehensweise
auf vektorwertige Probleme zu verallgemeinern.
Definition 5.1 Zu f : R m×n → R definieren wir die quasikonvexe Einhüllende
f qk : R m×n → [−∞, ∞) als die größte quasikonvexe Funktion, die kleiner oder
gleich f ist.
Es ist leicht zu sehen, dass das Supremum quasikonvexer Funktionen wieder
quasikonvex ist, so dass f qk wohldefiniert ist und
f qk = sup{g ≤ f : g ist quasikonvex}
gilt. Beachte, dass f qk R-wertig oder identisch −∞ ist.
Theorem 5.2 Ist f ∈ L 1 loc (Rm×n ), so gilt für jede beschränkte offene Menge
U ⊂ R n mit |∂U| = 0
∫
f qk (F) = inf
ϕ∈W 1,∞
0 (U;R m )
− f(F + ∇ϕ).
U
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