Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Theorem 2.59 Sei s ∈ R, k ∈ N. Dann ist f ∈ H s genau dann, wenn ∂ α f ∈
H s−k ist für alle |α| ≤ k. Die Normen
sind äquivalent.
‖f‖ s
und
⎛ ⎞
⎝ ∑
‖∂ α f‖ 2 ⎠
s−k
|α|≤k
Proof. Das geht ähnlich wie der Beweis von Satz 2.55.
Beispiele:
1. Es gilt S ⊂ H s für alle s ∈ R. Umgekehrt impliziert der Sobolevsche
Einbettungssatz (s. Skript PDG 1 und Satz 2.60 unten), dass ⋂ s∈R Hs ⊂
C ∞ .
√
2 sinx
2. Sei f : R → R gegeben durch f(x) = . Dann ist ˆf = χ
π x (−1,1) und
damit f ∈ H s für alle s. Beachte aber, dass f nicht in S liegt.
3. Im R n gilt ˆδ = 1 . Damit ist
(2π) n 2
∫
‖δ‖ 2 s = 1
(2π) n 2
(1 + |ξ| 2 ) s dξ = |∂B 1(0)|
R n (2π) n 2
∫ ∞
genau dann, wenn 2s + n − 1 < −1, also wenn s < − n 2 ist.
0
1
2
(1 + r 2 ) s r n−1 dr < ∞
Der Sobolevsche Einbettungssatz für die Räume H s lautet wir folgt.
Theorem 2.60 Für s > m + n 2 gilt Hs ֒→ C m .
Für s ∈ N haben wir diesen Satz schon im Skript PDG 1 bewiesen. In der
Tat ist der folgende Beweis für allgemeine s mit Hilfe der Fouriertransformation
sogar einfacher (funktioniert aber nicht in der allgemeinen Form für W k,p , p ≠ 2).
Proof. Wegen F −1 : L 1 (R n ) → C(R n ) mit ‖F −1 g‖ L ∞ ≤ ‖g‖ L 1, genügt es zu
zeigen, dass für alle Multiindizes α mit |α| ≤ m gilt
f ∈ H s =⇒ ̂∂ α f ∈ L 1 mit ‖̂∂ α f‖ L 1 ≤ C‖f‖ s .
Dies wiederum sieht man wie folgt:
∫
∫
|ξ α ˆf(ξ)| dξ ≤ C (1 + |ξ| 2 ) m 2 | ˆf(ξ)| dξ
∫
= C (1 + |ξ| 2 ) s 2 | ˆf(ξ)| · (1 + |ξ| 2 ) m−s
2 dξ
≤ C‖f‖ s
(∫
(1 + |ξ| 2 ) m−s dξ
)1
2
≤ C‖f‖s ,
□
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