Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

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Using that ∂ xi u ε ζ = ∂ xi (u ε ζ) − u ε ∂ xi ζ and that ϕ ε k solves (3.28) and thus we arrive at ∫ ∫ f ζ ϕ ε k = Ω ∫ Ω i,j=1 n∑ ( x a ij ε Ω i,j=1 n∑ ( x a ij ε ) ∂ xi (u ε ζ) ∂ xj ϕ ε k dx = 0, ) ∫ ∂ xi u ε ∂ xj ζ − Ω n∑ ( x ) a ij u ε ∂ xi ζ ∂ xj ϕ ε k ε . (3.29) i,j=1 Now by the definition of ϕ ε k and by uε ⇀ u in W 1.2 we have strongly in L 2 as ε → 0. Also, n∑ ( x ) a ij ∂ xj ϕ ε ε k(x) = j=1 ϕ ε k → x k and u ε → u n∑ ( x )( ( x )) a ij δ kj + ∂ j χ k ⇀ ā ik ε ε j=1 as the L 2 -weak limit of a highly oscillating sequence. Together with (3.26) we find by first sending ε to 0 in (3.29) and then using (3.27) with ϕ = x k ζ ∫ Ω j=1 n∑ ∫ ξ j x k ∂ xj ζ − Ω i=1 n∑ ∫ ā ik u ∂ xi ζ = ∫ = Ω ∫ f x k ζ = Ω j=1 Ω ξ · ∇(x k ζ) n∑ ∫ ξ j x k ∂ xj ζ + Ω j=1 n∑ ξ j ζ δ jk and so ∫ Ω n∑ i=1 ∫ ā ik ∂ xi u ζ = − Ω n∑ ∫ ā ik u ∂ xi ζ i=1 Ω ξ k ζ. Since ζ was arbitrary, this yields ξ k = n∑ ā ik ∂ xi u. i=1 But then again from (3.27) we obtain that <strong>for</strong> every ϕ ∈ W 1,2 0 (Ω) ∫ n∑ ∫ n∑ ∫ ā ik ∂ xi u ∂ xk ϕ = ξ k ∂ xk ϕ = f ϕ. Ω i,k=1 Ω k=1 Ω This proves that u is indeed a weak solution of (3.25). □ 80
Chapter 4 Variationsmethoden für vektorwertige Probleme Achtung: Dieser Teil des Skripts ist dem Skript “Partielle <strong>Differential</strong>gleichungen 2” des Sommersemesters 2009 entnommen. Es enthält alle in der VL besprochenen Resultate, jedoch in anderer Reihenfolge. Im letzten Kapitel widmen wir uns nun ausschließlich dem “variationellen Fall”: Wir untersuchen Funktionale auf (Teilmengen von) Sobolevräumen W 1,p auf die Existenz von Minimierern. Unter geeigneten Voraussetzungen erfüllen diese Minimierer eine PDG, die sich aus dem betrachteten Funktional ableitet, die Euler-Lagrange-Gleichung. Im Skript PDG 1, Kap. 5.4 hatten wir uns bereits mit Problemen dieser Art beschäftigt. Dort war I ein Funktional von der Form ∫ I(u) = f(x, u(x), Du(x)) U auf einer Teilmenge des Sobolevraums W 1,p (U), U ⊂ R n offen, zu minimieren. Im Unterschied hierzu wollen wir nun vektorwertige Probleme untersuchen, d.h. Funktionale auf (Teilmengen von) W 1,p (U; R m ). Wie im Skript PDG 1 wollen wir Minimierer mit der sog. direkten Methode finden. Es stellt sich nun heraus, dass die Situation für vektorwertige Probleme wesentlich komplizierter ist als im skalaren Fall. Die skalaren Ergebnisse lassen sich zwar unschwer auf den allgemeinen Fall übertragen. Doch dies führt in den Anwendungen zu viel zu starken Voraussetzungen. Im Falle der dreidimensionalen Elastizitätstheorie werden wir sehen, dass man tatsächlich neue Konzepte benötigt, um physikalisch relevante Probleme behandeln zu können. 81
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Weak Convergence Methods for Nonlin
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Chapter 1 Introduction Writing a ge
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Chapter 2 Convergence properties of
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Proof. ”⇒”: clear by the prec
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(Note that on any cube ∫ |f| ≤
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Finally sending n → ∞, by monot
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eindeutig festgelegt wird. (In der
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Definition 2.19 Ist T ∈ D ′ (Ω
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Proof. O.B.d.A. ist |α| = 1, etwa
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preserving extension L of l ◦ Ψ
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Recall Schauder’s theorem from fu
Seite 23 und 24:
Then and ∫ − f(z + ζ(x)) = 1 D
Seite 25 und 26:
Suppose (u (ν) ), u satisfy (H) an
Seite 27 und 28:
Corollary 2.37 Suppose f is continu
Seite 29 und 30: B(ξ)λ = ( ∑ k δ i+1,kλξ k )
Seite 31 und 32: where { (1 − µ)(t 1 − t 2 ), t
Seite 33 und 34: 1. r = 2. As Rank(ξ 1 , ξ 2 ) = 1
Seite 35 und 36: R m . For y = ∑ y i e i we calcul
Seite 37 und 38: Daraus ergibt sich die Behauptung.
Seite 39 und 40: 4. Die Funktion x ↦→ e x2 liegt
Seite 41 und 42: 1. ˆδ = 1 (2π) n 2 , denn ˆδϕ
Seite 43 und 44: Theorem 2.59 Sei s ∈ R, k ∈ N.
Seite 45 und 46: Note that if Au (ν) is bounded in
Seite 47 und 48: if Re ˜f(λ) = Reλ T Mλ ≥ 0
Seite 49 und 50: and thus Consequently, u (ν) j →
Seite 51 und 52: does the job: ∫ (∫ g(x, y) f(x,
Seite 53 und 54: 2. u periodic with unit cell [0, 1]
Seite 55 und 56: Examples: 1. The p-system: { ∂ t
Seite 57 und 58: Exercise: Prove that any smooth int
Seite 59 und 60: Figure 3.3: Shock solution of the B
Seite 61 und 62: Figure 3.5: Characteristics running
Seite 63 und 64: We will try to find solutions by fi
Seite 65 und 66: [−R, R] such that supp ν (x,t)
Seite 67 und 68: Using that Ψ ′ = F ′ Φ ′ we
Seite 69 und 70: independently of ε. The first term
Seite 71 und 72: 3.2 A Convergence result for quasil
Seite 73 und 74: On the other hand, the div-curl lem
Seite 75 und 76: fine scale. Our hope is that for sm
Seite 77 und 78: and thus u 1 = ∑ k ˜χ k ∂ xk
Seite 79: for suitable ξ j ∈ L 2 . Passing
Seite 83 und 84: (also ab ≤ ap + bq für a, b ≥
Seite 85 und 86: Es sei I : X → R ein Funktional a
Seite 87 und 88: Da f nach unten beschränkt ist, k
Seite 89 und 90: A ist: Nach (4.1) gilt det A δ ij
Seite 91 und 92: Betrachte nun den r-Minor M(F) = M
Seite 93 und 94: zeigt. Diese Funktion ist sogar aff
Seite 95 und 96: da η ε symmetrisch ist. Damit erf
Seite 97 und 98: Der folgende Satz klärt die Zusamm
Seite 99 und 100: Theorem 4.24 Es sei f : R m×n →
Seite 101 und 102: Corollary 4.25 Sei p ∈ (1, ∞),
Seite 103 und 104: nach unten abgeschätzt werden kann
Seite 105 und 106: Theorem 5.3 Es seien U ⊂ R n offe
Seite 107 und 108: Hier wird das relaxierte Funktional
Seite 109 und 110: (i) ν x ≥ 0 und ‖ν x ‖ M(R
Seite 111 und 112: Dann aber gilt 〈ν x , f〉 ≥ 0
Seite 113 und 114: für M > 0. Nun ist (f(w kj )) nach
Seite 115 und 116: Andererseits gilt wegen I(u k ) →
Seite 117 und 118: Nach Satz 5.11 wiederum gilt dann f
Seite 119 und 120: 5.3 Mikrostrukturen und Laminate In
Seite 121 und 122: Offenbar ist g Rang-1-affin auf L.
Seite 123: [Ta 79] L. Tartar: Compensated comp
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