Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Offenbar ist g Rang-1-affin auf L. Außerdem gilt
∫ ∫
g(Du) = − cos 2πx cos 2πy cos 2π(x + y)
(0,1) 2 (0,1) 2
=
∫ 1 ∫ 1
0
0
− cos 2 2πx cos 2 2πy + cos 2πx sin 2πx cos 2πy sin 2πy
= − 1 2 · 1
2 + 0 = −1 4 < 0 = g(0).
Der Beweis ist hier jedoch noch nicht beendet, da g ja nur auf L definiert ist.
Wir konstruieren nun auf ganz R 3×2 eine Rang-1-konvexe Funktion, die auf L
nahe bei g liegt: Es sei P die orthogonale Projektion von R 3×2 auf L. Setze
f ε,k (F) = g(PF) + ε ( |F | 2 + |F | 4) + k|F − PF| 2 .
Wir überlegen uns zunächst, dass für jedes ε > 0 ein k(ε) > 0 existiert, so
dass f ε,k Rang-1-konvex ist: Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es ε > 0, so dass
kein f ε,k , k ∈ N Rang-1-konvex ist. Da die f ε,k glatte Funktionen sind, bedeutet
das, dass es zu jedem k ∈ N Matrizen F k ∈ R 3×2 und Vektoren a k ∈ R 3 , b k ∈ R 2
mit |a k | = |b k | = 1 existieren, so dass
Nun ist
D 2 f ε,k (F k )(a k ⊗ b k , a k ⊗ b k ) ≤ 0. (5.8)
D 2 f ε,k (F)(X, X) (5.9)
= D 2 g(PF)(PX, PX) + 2ε|X| 2 + ε ( 4|F | 2 |X| 2 + 8|F : X| 2) + k|X − PX| 2 .
(5.10)
Da g(PF) kubisch in F ist, skaliert D 2 g(PF) linear in F. Aus (5.8) und (5.9)
ergibt sich damit, dass |F k | ≤ C beschränkt ist. (Beachte |a k ⊗b k | = |a k |·|b k | = 1.)
Nach Übergang zu Teilfolgen (wieder mit k indiziert) erhalten wir
F k → F, a k → a, b k → b.
Im Limes k → ∞ folgt dann aber aus (5.8) und (5.9)
D 2 g(PF)(Pa ⊗ b, Pa ⊗ b) + 2ε + j|a ⊗ b − Pa ⊗ b| 2 ≤ 0 ∀ j > 0.
Daher ist Pa ⊗b = a ⊗b, also a ⊗b ∈ L. Die Abbildung t ↦→ g(PF +tPa ⊗b) ist
also Rang-1-affin, so dass D 2 g(PF)(Pa ⊗ b, Pa ⊗ b) = 0 ist. Zusammengefasst
ergibt sich der Widerspruch 2ε ≤ 0.
Wir können also ε > 0 so klein wählen, dass
∫ ∫
f ε,k(ε) (Du) = g(Du) + ε ( |Du| 2 + |Du| 4) < 0 = f ε,k(ε) (0),
Q
f ε,k(ε) aber Rang-1-konvex ist.
Q
□
121