Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

1. ˆδ = 1
(2π) n 2 , denn
ˆδϕ = δ(ˆϕ) = 1
(2π) n 2
2. ˆ1 = (2π) n 2 δ, denn nach 1. gilt
∫
∫
e −i0·x ϕ(x) dx =
R n
R n 1
(2π) n 2
ˆ1 = (2π) n 2 ˆδ = (2π)
n
2 ˇδ = (2π)
n
2 δ.
ϕ(x) dx ∀ ϕ ∈ S.
2.8 Sobolevräume und Fouriertransformation
In [Sch 10] haben wir insbesondere die Sobolveräume
H k = H k (R n ) = {u ∈ L 2 : ∂ α u ∈ L 2 ∀ |α| ≤ k}
untersucht. In Abschnitt 2.4 haben wir zudem die Räume H −k , k ∈ N, betrachtet.
Hier werden wir H s für beliebige s ∈ R definieren. Dazu benötigen wir
zunächst eine Charakterisierung von H k , die nicht ausnutzt, dass k ∈ Z ist. Der
Einfachheit halber beschränken wir uns hier im Wesentlichen auf Funktionen, die
auf ganz R n definiert sind.
Theorem 2.55 Sei u ∈ L 2 . Es gilt u ∈ H k , k ∈ N 0 , genau dann, wenn ξ ↦→
(1 + |ξ| 2 ) k 2û(ξ) ∈ L 2 ist. Die Norm
ist äquivalent zur H k -Norm.
u ↦→ ‖(1 + |ξ| 2 ) k 2û‖L 2
Proof. Aus der Formel von Plancherel ergibt sich
∑
‖∂ α u‖ 2 L = ∑
‖̂∂ α u‖ 2 2 L = ∑ ∫
‖ξ α û‖ 2 2 L = 2
|α|≤k
|α|≤k
|α|≤k
(mit ‖T ‖ L 2 := ∞ für T ∈ S ′ \ L 2 ). Nun gilt einerseits
∑
|ξ α | 2 ≤ C(1 + |ξ| 2 ) k
|α|≤k
R n ⎛
⎝ ∑
|α|≤k
|ξ α | 2 ⎞
⎠ |û(ξ)| 2 dξ
(Fallunterscheidung, ob |ξ α | ≤ 1 oder > 1), andererseits
(1 + |ξ| 2 ) k ≤ 2 k (1 + |ξ| 2k ) = C(1 + (|ξ 1 | 2 + . . . + |ξ n | 2 ) k ) ≤ C ∑
|α|≤k
|ξ α | 2 ,
d.h. c(1+|ξ| 2 ) k ≤ ∑ |α|≤k |ξα | 2 ≤ C(1+|ξ| 2 ) k für geeignete c, C > 0. Daraus folgt
c‖(1 + |ξ| 2 ) k 2û‖
2
L 2 ≤ ‖u‖2 H k ≤ C‖(1 + |ξ| 2 ) k 2û‖
2
L 2.
Dies motiviert die folgende Definition:
□
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