Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Proof. Mit der Notation aus Lemma 4.19 ist f qk = Qf(·, U) zu zeigen, wobei
wir nach Lemma 4.19 schon wissen, dass Qf(·, U) nicht von U abhängt. Nun ist
einerseits
Qf(·, U) ≥ Qf qk (·, U) = f qk .
Um andererseits Qf(·, U) ≤ f qk nachzuweisen, genügt es wegen Qf(·, U) ≤ f zu
zeigen, dass Qf(·, U) quasikonvex ist.
Dazu dürfen wir o.B.d.A. Qf(·, U) > −∞ annehmen, denn gibt es ein G ∈
R m×n mit Qf(G, U) = −∞, dann ist Qf(·, U) ≡ −∞: Zu F ∈ R m×n wähle
ψ ∈ W 1,∞
0 (U, R m ) mit F + Dψ ≡ G auf einer Teilmenge U ′ ⊂⊂ U. Dann aber
ist |U|Qf(F, U) ≤ ∫ ∫
f(F + Dψ) + inf
U\U ′ ϕ∈W
1,∞
0 (U;R m )
f(G + Dϕ) = −∞.
U ′
Sei nun ψ ∈ W 1,∞
0 stückweise affin: Es gebe endlich viele paarweise disjunkte
offene Mengen U i , auf denen ψ affin sei, mit
∣ U \ ⋃ ∣ ∣∣∣∣
U i = 0.
i
Zu ε > 0 wähle ϕ i ∈ W 1,∞
0 (U i ; R m ), so dass
∫
Qf(F + Dψ, U i ) ≥ − f(F + Dψ + Dϕ i ) − ε.
U i
Für ϕ := ψ+ ∑ i ϕ i ∈ W 1,∞
0 (U, R m ), wobei die ϕ durch Null auf ganz U fortgesetzt
wurden, ist
∫
Qf(F + Dψ, U) = ∑ |U i |Qf(F + Dψ, U i )
U i
∫
≥ f(F + Dϕ) − ε|U| ≥ (Qf(F, U) − ε) |U|.
U
Da ε beliebig war, ergibt sich
∫
− Qf(F + Dψ, U) ≥ Qf(F, U). (5.1)
U
Da diese Ungleich nur für alle stückweise affinen ψ gezeigt ist, können wir
noch nicht unmittelbar folgern, dass Qf(·, U) quasikonvex ist. Eine Inspektion
des Beweises von Satz 4.21 (insbesondere der Implikation ‘quasikonvex =⇒
Rang-1-konvex’) zeigt jedoch, dass die Gültigkeit von (5.1) für alle stückweise
affinen ψ schon ausreicht, um zu schließen, dass Qf(·, U) Rang-1-konvex ist.
Damit aber ist Qf(·, U) separat konvex und insbesondere stetig. Nun erhält
man, dass (5.1) tatsächlich für alle ψ ∈ W 1,∞
0 (U; R m ) gilt durch ein Standard-
Approximationsargument.
□
Wir können nun das Hauptergebnis dieses Paragraphen über die Relaxierung
von Integralfunktionalen I(u) = ∫ f(Du(x)) dx formulieren.
U
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