Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

(i) ν x ≥ 0 und ‖ν x ‖ M(R d ) = ∫ R d dν x ≤ 1 für fast alle x ist.
(ii) Für alle f ∈ C 0 (R d ) gilt
f(w kj ) ∗ ⇀ ¯f
in L ∞ (Ω),
wobei ¯f gegeben ist durch
∫
¯f(x) := 〈ν x , f〉 = f(y) dν x (y).
R d
(iii) Es sei K ⊂ R d kompkt. Dann gilt
dist(w kj , K) → 0 d.M.n. =⇒ supp ν x ⊂ K f.f.a. x.
Hierbei steht ‘d.M.n.’ für Konvergenz ‘dem Maße nach”. 2
(iv) Es ist ‖ν x ‖ = 1 f.f.a x genau dann, wenn
lim sup |{|w kj | ≥ M}| = 0
M→∞
gilt, wenn also keine Masse nach ∞ entkommt.
(v) Sei ‖ν x ‖ = 1 f.f.a x, f ∈ C(R d ) und A ⊂ Ω messbar. Ist dann
(f(w kj )) relativ schwach folgenkompakt in L 1 (A),
j
so folgt
f(w kj ) ⇀ ¯f
in L 1 (A).
(vi) Gilt ‖ν x ‖ = 1 f.f.a x, so stimmt in (iii) auch die umgekehrte Implikation
‘⇐=’.
Definition 5.7 Die Abbildung ν : Ω → M(R d ) ist das von (w kj ) erzeugte
Young-Maß.
Remark 5.8 1. Der zentrale Punkt ist (ii): Das Young-Maß verschlüsselt die
schwach*-Limites aller nicht-linearer Funktionen der w kj . Zur Erinnerung:
In einer Hausaufgabe wurde gezeigt, dass schwache Limites nicht mit nichtlinearen
Operationen kommutieren. Selbst wenn der schwach*-Limes der
Folge (w kj ) existiert und bekannt ist, so kann man daraus allein also keine
Rückschlüsse auf die Werte der schwach*-Grenzwerte von f(w kj ) gwinnen.
2 Seien v, v 1 , v 2 , . . . : Ω → R messbar, Ω ⊂ R n messbar mit |Ω| < ∞. Man sagt die Folge v k
konvergiert dem Maße nach gegen v, wenn lim k→∞ |{x : |v k (x) − v(x)| ≥ ε}| = 0 gilt für alle
ε > 0. (Das entspricht dem Begriff der stochastischen Konvergenz in der Wahrscheinlichkeitstheorie.)
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