Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

5.3 Mikrostrukturen und Laminate
In Satz 4.21 haben wir gesehen, dass Quasikonvexität Rang-1-Konvexität impliziert.
Die wesentliche Konstruktion im Beweis dafür war eine Feinschichtung
von Lagen mit Deformationsgradient A bzw. B, Rang(A − B) = 1, so dass die
resultierende gemittelte Deformation λA + (1 − λ)B ergab. Iteriert man diese
Konstruktion, so gelangt man zum Begriff des Laminats. Dabei handelt es sich
um diejenigen homogenen GYMs (also Maße), die durch Deformationen solcher
Art induziert werden. (Mehr Einzelheiten hierzu, insbesondere die exakte Definition
von Laminaten, findet man in [Mü 98].)
Die interessante Frage ist nun, ob tatsächlich alle GYMs auf diese Weise
entstehen. Wie wir im letzten Abschnitt bemerkt haben, sind die GYMs gerade
die verallgemeinerten Minimierer von Integralfunktionalen, die von Gradienten
abhängen. Sie verschlüsseln die Mikrostrukturen, die von den minimierenden
Funktionenfolgen dieser Funktionale erzeugt werden. Unsere Frage lautet also:
Sind alle Mikrostrukturen Laminate?
Es stellt sich nun heraus, dass – ähnlich wie GYMs die dualen Objekte
zu den quasikonvexen Funktionen sind – die Laminate dual zu den Rang-1-
konvexen Funktionen sind. (Ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit kompaktem Träger
ist genau dann ein Laminat, wenn die Jensensche Ungleichung für alle Rang-1-
konvexen Funktionen erfüllt ist.) Daraus ergibt sich schließlich, dass unsere Frage
äquivalent zu der schon früher erörterten Frage
Gilt Quasikonvexität =⇒ Rang-1-Konvexität?
ist.
Die Vermutung von Morrey aus dem Jahre 1952, dass das nicht stimmt, wurde
erst 1993 von Šverák bewiesen. Zum Schluss dieser Vorlesung geben wir hier
seinen Beweis wieder. In Anwendung auf die mathematische Theorie der Materialwissenschaften
bedeutet dies, dass es Mikrostrukturen gibt, die komplizierter
sind als selbst auf verschiedensten Skalen beliebig verschachtelte Materialschichtungen.
Theorem 5.17 Es sei m ≥ 3, n ≥ 2. Dann gibt es eine Rang-1-konvexe Funktion
f : R m×n → R, die nicht quasikonvex ist.
Wir benötigen die folgende nützliche Charakterisierung der Quasikonvexität.
Lemma 5.18 f : R m×n → R ist quasikonvex genau dann, wenn
∫
f(F + Dϕ(x)) dx ≥ f(F)
Q
für alle ϕ ∈ W 1,∞ (R n ), die Q = (0, 1) n -periodisch sind, gilt.
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