Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Andererseits gilt wegen I(u k ) → 0 auch u kj → 0 in L 2 und somit
∫ ∫
wϕ = lim
u kj ϕ ′ = 0
j→∞
∫
w kj ϕ = lim
j→∞
∫
u ′ k j
ϕ = − lim
j→∞
für ϕ ∈ Cc ∞ (0, 1). Es muss also w ≡ 0 sein, d.h. λ(x) = 1 2
(w kj ) generiert also das homogene Young-Maß
f.f.a. x.
ν x = 1 2 (δ −1 + δ 1 ) f.f.a. x.
Da ν dadurch eindeutig gegeben ist, wird ν sogar von der ganzen Folge (u ′ k )
erzeugt.
Bevor wir uns weiteren Anwendungen zuwenden, wollen wir noch präzisieren,
in welchem Sinne ein von (w k ) erzeugtes Young-Maß als Werte-Statistik von w k (x)
für große k aufzufassen ist. Sei Ω ⊂ R n offen, so dass B δ (x) ⊂ Ω für hinreichend
kleine δ > 0 ist. Durch
∫
〈ν (k)
x,δ , f〉 = − f(w k (z)) dz
B δ (x)
wird dann ein lineares Funktional auf C 0 (R d ), also ein Maß ν (k)
x,δ auf Rd definiert,
das “die Wahrscheinlichkeit misst, dass w k (z) in dy liegt für z ∈ B δ (x)”:
ν (k)
x,δ (A) = − ∫
B δ (x)
χ A (w k (z)) dz =
1
|B δ (x)| |{z ∈ B δ(x) : w k (z) ∈ A}|,
d.h. ν (k)
x,δ ist das Bildmaß der Gleichverteilung auf B δ(x) unter w k .
Corollary 5.9 Es gilt
lim lim
δց0 k→∞ ν(k) x,δ = ν x
in der schwach*-Topologie auf M(R d ) für fast alle x ∈ Ω.
Proof. Für f ∈ C 0 (R d ) gilt f(w k ) ⇀ ∗ ¯f mit ¯f(z) = 〈ν z , f〉, so dass
∫
lim
k→∞ 〈ν(k) x,δ
, f〉 = lim − f(w k (z)) dz = − 〈ν z , f〉 dz.
k→∞
∫B δ (x)
B δ (x)
Dies zeigt
ν (k)
x,δ
∫
∗
⇀ ν x,δ für 〈ν x,δ , f〉 = −
B δ (x)
〈ν z , f〉 dz.
Für festes f ∈ C 0 (R d ) ist nun fast jedes x ∈ Ω ein Lebesgue-Punkt von ¯f, so
dass
∫
lim 〈ν x,δ, f〉 = lim − 〈ν z , f〉 dz = 〈ν x , f〉
δց0 δց0
B δ (x)
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