Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Betrachte nun den r-Minor M(F) = M i 1 ,...,ir (F). Ist w ∈ C ∞ (U; R m ), so gilt
j 1 ,...,jr
nach (4.1)
r∑
M(Dw) = ∂ js w it (cof S(Dw)) itj s
für t = 1, . . ., r.
Nach Korollar 4.8 ist
s=1
r∑
w it ∂ js (cof S(Dw)) itj s
= 0,
s=1
so dass M(Dw) als Ableitung geschrieben werden kann:
r∑
M(Dw) = ∂ js (w it (cof S(Dw)) itj s
) für t = 1, . . .,r. (4.4)
s=1
Für ϕ ∈ Cc ∞ (U) ergibt sich daraus
∫
∫ r∑
M(Dw) ϕ = − w it (cof S(Dw)) itj s
∂ js ϕ für t = 1, . . ., r. (4.5)
U
U
s=1
Da die Terme M(Dw) und w it (cof S(Dw)) itj s
aus r-fachen Produkten von Einträgen
in w und Dw bestehen, zeigt ein Standard-Approximationsargument (benutze die
allgemeine Hölder-Ungleichung), dass (4.5) für alle w ∈ W 1,p , p ≥ r, gilt.
Nun konvergiert u (k) ⇀ u schwach in W 1,p (U; R m ) und damit wegen p ≥ r
auch in W 1,r (U; R m ). Nach dem Satz von Rellich-Kondrachov konvergiert u (k) →
u (stark) in L q (U) für 1 ≤ q < r ∗ = nr
n−r
. Außerdem gilt nach Induktionsannahme
cof S(Du (k) ) ⇀ cof S(Du) in L p
r
r−1 (U) und damit auch in L
von cof S(F) ja gerade (r − 1)-Minoren von F sind. Dann aber konvergiert
u (k)
i t
(cof S(Du (k) )) itj s
⇀ u it (cof S(Du)) itj s
schwach in L˜q für 1 ≤ ˜q < n für alle i n−1 t, j s , denn es ist r−1
r
Hilfe von (4.5) für w = u (k) bzw. w = u folgt nun
lim
k
∫
U
M(Du (k) ) ϕ = − lim
k
∫
= −
U
∫
U
r∑
s=1
u (k)
i t
(cof S(Du (k) )) itj s
∂ js ϕ
r∑
∫
u it (cof S(Du)) itj s
∂ js ϕ =
s=1
r−1 (U), da die Einträge
U
+ n−r
rn
M(Du) ϕ.
= n−1
n . Mit
(4.6)
Dies zeigt, dass M(Du (k) ) gegen M(Du) im Distributionensinne konvergiert,
sogar wenn nur p ≥ r vorausgesetzt ist. Da nun Du (k) eine beschränkte Folge
in W 1,p ist, ist M(Du (k) ) beschränkt in L p r. Ist nun p > r, so ergibt sich aus
der Reflexivität von L p r, dass jede Teilfolge von M(Du (k) ) eine in L p r schwach
konvergente Teilfolge besitzt. Nach (4.6) muss dieser Limes M(Du) sein. Dann
aber konvergiert die gesamte Folge M(Du (k) ) gegen M(Du).
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