Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

(i) ∫ Ω
∫
R m×n |F | p dν x (F) dx < ∞,
(ii) 〈ν x , id〉 = Du(x) f.f.a. x und
(iii) 〈ν x , f〉 ≥ f(〈ν x , id〉) f.f.a. x für alle quasikonvexen Funktionen f : R m×n →
R, die einer Wachstumsbedingung der Form |f(F)| ≤ C(1+|F | p ) genügen.
Dieser Satz zeigt insbesondere, dass (5.7) tatsächlich für alle quasikonvexen
Funktionen g unter geeigneten Wachstumsvoraussetzungen gilt.
GYMs verhalten sich also in gewisser Hinsicht ‘dual’ zu den quasikonvexen
Funktionen: Während quasikonvexe Funktionen die Jensensche Ungleichung für
alle Gradientenfelder erfüllen, erfüllen die Gradienten-Young-Maße die Jensensche
Ungleichung für alle quasikonvexen Funktionen.
Wie wir zu Beginn dieses Abschnitts gesehen haben, liefern die Young-Maße
aber gerade auch dann wertvolle Informationen, wenn die Integranden nicht
quasikonvex sind und ein Minimierer im Allgemeinen nicht angenommen wird.
Ähnlich wie man für manche Differentialgleichungen, die keine klassische Lösung
besitzen, immer noch ‘schwache Lösungen’ konstruieren kann, kann auch der
Definitionsbereich eines Integralfunktionals geeignet erweitert werden, so dass
‘verallgemeinerte Minimierer’ existieren.
Betrachte das Funktional
∫
I(u) = f(Du)
auf
A = {u ∈ W 1,p (Ω; R m ) : u − g ∈ W 1,p
0 }.
Wir setzen I zu einem Funktional J auf die Menge
Y := {ν : Ω → M(R m×n ) : ν ist W 1,p -GYM mit 〈ν x , id〉 = Du für ein u ∈ A}
gemäß
∫
J(ν) =
Ω
Ω
〈ν x , f〉 dx
fort. Es gilt dann der folgende Satz (o. Beweis):
Theorem 5.16 Sei p > 1, f stetig mit c 1 |F | p − c 2 ≤ f(F) ≤ c 2 (1 + |F | p ) für
geeignete Konstanten c 1 , c 2 > 0. Dann gilt
inf
A I = min
Y J.
Die Minimierer von J sind gerade die von den minimierenden Folgen erzeugten
GYMs.
Insbesondere hat I einen Minimierer in A genau dann, wenn ein Minimierer
ν von J existiert, so dass ν x ein Dirac-Maß ist f.f.a. x.
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