Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Theorem 4.2 Es sei f : U × R m × R m×n → R eine glatte Funktion, die den
Wachstumsbedingungen
|f(x, y, z)| ≤ C (1 + |y| p + |z| p ),
|D y f(x, y, z)|, |D z f(x, y, z)| ≤ C ( 1 + |y| p−1 + |z| p−1)
für alle x ∈ U, y ∈ R m , z ∈ R m×n genügt. Ist dann I(u) = min v∈A I(v), so ist u
eine schwache Lösung des Randwertproblems
− div(D z f(x, u(x), Du(x)) + D y f(x, u(x), Du(x)) = 0 in U,
u = g auf ∂U.
Remark 4.3 Die PDG
− div(D z f(x, u(x), Du(x)) + D y f(x, u(x), Du(x)) = 0
heißt die zum Funktional I gehörige Euler-Lagrange-Gleichung. Diese Gleichung
ist eine PDG in Divergenzform.
Beispiel: Ein genuin vektorwertiges variationelles Problem ist das Auffinden von
Deformationen kleiner Energie in der dreidimensionalen Elastizitätstheorie. Es
sei U ⊂ R 3 ein elastischer Körper, U ⊂ R 3 offen und beschränkt. Ordnet man jedem
Punkt x aus U einen Punkt y(x) ∈ R 3 zu, so wird dadurch eine Deformation
y definiert. Die zur Deformation y nötige Energie, die aus den lokalen Verzerrungen
herrührt, ist für sog. hyperelastische Materialien durch ein Integralfunktional
von der Form
∫
E(y) = W(x, Dy(x)) dx
U
gegeben. Hierbei ist W die gespeicherte Energiedichte, die im Falle homogener
Materialien nicht explizit von x abhängt. Die Abhängigkeit von y durch den Deformationsgradienten
Dy erklärt sich dadurch, dass Dy gerade die lokalen Verzerrungen
des Körpers misst, die die elastische Energie speichern. Ein Minimierer
von E in der Klasse A beschreibt dann die energetisch günstigste Konfiguration,
die die vorgegebenen Randwerte realisiert.
4.2 Die direkte Methode
Mit der direkten Methode der Variationsrechnung lässt sich unter geeigneten
Voraussetzungen die Existenz von Minimierern bestimmter Funktionale ‘direkt’
zeigen, ohne die zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen zu untersuchen. Wir
wiederholen zunächst das allgemeine Prinzip, das schon im Skript PDG 1 vorgestellt
wurde.
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