Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Corollary 4.14 Erfüllt f : U × R m × R m×n → R zusätzlich zu den Voraussetzungen
von Satz 4.13 die die Wachstumsbedingung
f(x, y, z) ≥ c 1 |z| p − c 2
für geeignete Konstanten c 1 > 0, c 2 ∈ R, p > n, so existiert ein u ∈ A mit
I(u) = inf
v∈A I(v).
Proof. Das folgt mit der direkten Methode aus Lemma 4.4 und Satz 4.13.
Als Anwendung der Tatsache, dass Determinanten Null-Lagrangefunktionen
sind (vgl. Korollar 4.11), geben wir hier einen Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes.
Theorem 4.15 (Brouwerscher Fixpunktsatz) Jede stetige Abbildung der abgeschlossenen
Einheitskugel B 1 (0) in sich hat einen Fixpunkt.
Der Beweis ergibt sich leicht aus dem folgenden Lemma.
Lemma 4.16 Es gibt keine stetige Abbildung w : B 1 (0) → ∂B 1 (0) mit w(x) = x
für alle x ∈ ∂B 1 (0).
Beweis von Satz 4.15. Es sei u : B 1 (0) → B 1 (0) eine stetige Funktion ohne
Fixpunkt. Für x ∈ B 1 (0) definiere w(x) als den Schnittpunkt des Strahles, der
von u(x) ausgeht und durch den Punkt x führt, mit ∂B 1 (0). Dies definiert eine
stetige Abbildung w : B 1 (0) → ∂B 1 (0) mit w(x) = x für alle x ∈ ∂B 1 (0) im
Widerspruch zu Lemma 4.16.
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Beweis von Lemma 4.16. Wir führen die Annahme, es gäbe ein solches w zum
Widerspruch.
Sei zunächst w als glatt angenommen. Ist v die identische Abbildung v(x) = x,
so folgt aus Korollar 4.11
∫ ∫
det Dw = det Dv = |B 1 (0)| ≠ 0, (4.7)
B 1 (0)
B 1 (0)
denn es gilt w = v auf ∂B 1 (0). Andererseits ist |w| 2 ≡ 1, so dass ∂ i w · w = 0 für
alle i gilt und damit (Dw) T w = 0. Wegen w ≠ 0 ist Null also ein Eigenwert von
Dw und somit det Dw ≡ 0 auf B 1 (0), im Widerspruch zu (4.7).
Ist nun w nur als stetig vorausgesetzt, so setzen wir w gemäß w(x) = x auf
R n \ B 1 (0) fort. Ist η ε der skalierte Standard-Glättungskern, so ist ˜w := η ε ∗ w
glatt und ≠ 0 für ε hinreichend klein. (Beachte u ε → u gleichmäßig für ε → 0.)
Für ε < 1 gilt auf ∂B 2 (0) außerdem
∫
∫
˜w(x) = η ε (y)(x − y) dy = x − y η ε (y) dy = x,
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