Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

5.2 Young-Maße
Bei Young-Maßen handelt es sich eigentlich um eine Familie von Maßen ν =
(ν x ) x∈Ω , Ω ⊂ R n eine messbare Menge. Ist w k : Ω → R d eine Folge messbarer
Funktionen, so erzeugt (w k ) das Young-Maß ν = (ν x ), wobei jedes ν x ein (Sub-)
Wahrscheinlichkeitsmaß auf R d ist, wenn für alle x 0 ∈ Ω gilt:
ν x0 (dy) ist ‘die Wahrscheinlichkeit für w k (x) ∈ dy im Limes k → ∞
für x nahe x 0 ’.
Young-Maße liefern also eine Werte-Satistik von w k (x) für späte Folgenglieder.
Wir werden dies im Folgenden präzisieren. Mit dieser Interpretation lassen sich
die Vermutungen über das universelle Verhalten von u ′ k aus dem letzten Beispiel
des vorigen Abschnitts umformulieren zu der Aussage:
Für große k ist u ′ k (x) mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe ±1. Dabei
sollte u ′ k ≈ −1 genauso wahrscheinlich wie u′ k ≈ +1 sein und zwar
unabhängig vom betrachteten Punkt x.
Zur Konstruktion von Young-Maßen benötigen wir eine technische Vorbereitung.
Es sei
C 0 (R d ) := {f ∈ C(R d ) : lim f(x) = 0} = C c (R d )
|x|→∞
der – mit der sup-Norm versehene – Raum der im Unendlichen verschwindenden
stetigen Funktionen. (Allgemeiner definiert man C 0 (U) auch für Teilmengen U
von R d als den Abschluss der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger in U
bezüglich der sup-Norm.) Wir bezeichnen den Raum der signierten Radonmaße
endlicher Masse auf R d mit M(R d ). Nach dem Rieszschen Darstellungssatz ist
M(R d ) isometrisch isomorph zum Dualraum von C 0 (R d ), wobei ein Maß µ gemäß
∫
C 0 (R d ) ∋ f ↦→ 〈µ, f〉 = f(x)µ(dx)
R d
als Funktional auf C 0 (R d ) wirkt. Ist Ω ⊂ R n messbar, so ist der Raum L 1 (Ω; C 0 (R d ))
als der Raum der Bochner-integrierbaren Funktionen definiert, s. etwa [Ed 65].
Es stellt sich nun heraus, dass der Dualraum von L 1 (Ω; C 0 (R d )) gerade durch den
Raum L ∞ w ∗(Ω; M(Rd )) der schwach*-messbaren wesentlich beschränkten Funktionen
mit Werten in M(R d ) gegeben ist. 1 Ist ν ∈ L ∞ w ∗(Ω; M(Rd )), so schreiben wir
meist ν x für ν(x) ∈ M(R d ).
Theorem 5.6 (Haupsatz für Young-Maße) Es sei Ω ⊂ R n messbar mit |Ω| <
∞ und w k : Ω → R d eine Folge messbarer Funktionen. Dann gibt es eine Teilfolge
(w kj ) und ein ν ∈ L ∞ w ∗(Ω; M(Rd )), so dass
1 Einen Beweis findet man etwa in [Ed 65, S. 588f].
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