Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

für M > 0. Nun ist (f(w kj )) nach dem Satz von Dunford-Pettis gleichgradig integrierbar
auf A, so dass zu ε > 0 ein M existiert mit C sup j
∫{f(w kj )≥M} f(w k j
) < ε 2 .
Wählt man nun m – unabhängig von j – hinreichend groß, so wird nach der schon
bewiesenen Aussage (iv) auch CM sup j |{|w kj | ≥ m}| < ε . Dies zeigt die Behauptung.
2
Nun gilt für f m ∈ C c (R d ) nach (ii)
∫ ∫
ϕf m (w kj ) = ϕ〈ν x , f m 〉.
lim
j→∞
A
lim
j→∞
A
Mit Hilfe der gleichmäßigen Konvergenz in (5.6) folgt daraus dann
∫
∫ ∫
ϕf(w kj ) = lim ϕ〈ν x , f m 〉 = ϕ〈ν x , f〉,
m→∞
A
wobei sich die letzte Gleichheit aus dem Satz von der monotonen Konvergenz
ergibt, indem man ∫ A ϕ〈ν x, f m 〉 = ∫ {ϕ 0
|{dist(w kj , K) ≥ ε}| ≤ 1 ε
∫
A
{dist(w kj ,K)≥ε}
A
f(w kj ) → 0.
Beispiele:
□
1. Sei h : R → R 1-periodisch mit
{
a, 0 ≤ x < λ,
h(x) =
b, λ ≤ x < 1,
a, b ∈ R, λ ∈ [0, 1].
Definiere w k : [0, 1] → R durch w k (x) := h(kx). Dann gilt w ∗ k ⇀ w in
L ∞ (0, 1) mit w ≡ λa + (1 − λ)b (Übung) und genauso konvergiert f(w k)
schwach* gegen die Konstante Funktion λf(a)+(1 −λ)f(b) in L ∞ (0, 1) für
alle f : R → R. Dies zeigt, dass (w k ) das Young-Maß (ν x ) mit
ν x = λδ a + (1 − λ)δ b
∀ x
generiert. Beachte, dass ν x hier nicht von x abhängt. Man sagt in diesem
Fall, das Young-Maß ν ist homogen.
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