Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

(also ab ≤ ap + bq für a, b ≥ 0, 1 + 1 = 1)
p q p q ∣ d
∣∣∣
∣dt f(x, u(x) + tv(x), Du(x) + tDv(x))
= |D y f(x, u(x) + tv(x), Du(x) + tDv(x)) v(x)
+ D z f(x, u(x) + tv(x), Du(x) + tDv(x))Dv(x)|
≤ C(1 + |u(x) + tv(x)| p−1 + |Du(x) + tDv(x)| p−1 )(|v(x)| + |Dv(x)|)
≤ C(1 + |u(x) + tv(x)| p + |Du(x) + tDv(x)| p ) + C(|v(x)| p + |Dv(x)| p )
≤ C(1 + |u(x)| p + |Du(x)| p ) + C(|v(x)| p + |Dv(x)| p )
für |t| ≤ 1. Die letzte Funktion ist unabhängig von t ∈ (−1, 1) und integrierbar.
Wir dürfen also unter dem Integral differenzieren und erhalten
∫
0 = i ′ d
(0) =
U dt∣ f(x, u(x) + tv(x), Du(x) + tDv(x)) dx
t=0
∫ m∑
m∑ n∑
= ∂ yi f(x, u(x), Du(x))v i (x) + ∂ zij f(x, u(x), Du(x))∂ j v i (x) dx.
U
i=1
Durch diese Rechnung und partielle Integration motiviert definieren wir:
Definition 4.1 Wir sagen u ∈ A ist eine schwache Lösung des Randwertproblems
i=1
j=1
− div(D z f(x, u(x), Du(x)) + D y f(x, u(x), Du(x)) = 0 in U,
u = g auf ∂U.
wenn
∫
U
D y f(x, u(x), Du(x)) · v(x) + D z f(x, u(x), Du(x)) : Dv(x) dx = 0
für alle v ∈ W 1,p
0 (U; R m ).
Hier ist D z f als m × n Matrix mit den Einträgen ∂ zij f zu verstehen. (Das
Skalarprodukt im Matrizenraum wird oft mit einem Doppelpunkt bezeichnet.
Für A = (a ij ), B = (b ij ) ∈ R m×n ist A : B := ∑ m ∑ n
i=1 j=1 a ij b ij = Spur(A T B).)
In Indexschreibweise entspricht das den m Gleichungen
− ∑ j
∂ j ∂ zij f(x, u(x), Du(x)) + ∂ yi f(x, u(x), Du(x)) = 0 für i = 1, . . ., m.
Unsere Rechnung von oben zeigt dann:
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