Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

eindeutig festgelegt wird. (In der Distributionentheorie wird der Raum der Testfunktionen
Cc ∞ (Ω) meist mit D(Ω) bezeichnet.)
Beachte, dass ϕ ↦→ ∫ fϕ eine lineare Abbildung von D(Ω) in den Skalarenkörper
K (K = R oder C) ist. Wir definieren nun die Menge der Distributionen als die
Menge der linearen Abbildungen, die einer (sehr milden) Stetigkeitsbedingung
genügen.
Definition 2.15 Sei Ω ⊂ R n offen. Eine Distribution auf Ω ist eine lineare
Abbildung T : D(Ω) → K, so dass gilt: Für jede kompakte Teilmenge K von Ω
existieren C K > 0 und N K ∈ N 0 , so dass
∑
|Tϕ| ≤ C K ‖∂ α ϕ‖ L ∞ (K) ∀ϕ ∈ D(Ω) mit supp ϕ ⊂ K
|α|≤N K
gilt. (Gibt es ein kleinstes N K , welches für alle Kompakta in Ω funktioniert, so
heißt N K die Ordnung von T.) Die Menge der Distributionen auf Ω wird mit
D ′ (Ω) bezeichnet.
Beispiele:
1. Jede L 1 loc -Funktion f induziert eine Distribution T f gemäß T f ϕ := ∫ Ω fϕ.
Die Linearität dieser Abbildung ist klar. Außerdem gilt
|Tϕ| ≤ ‖f‖ L 1 (K)‖ϕ‖ L ∞ (K)
für alle ϕ ∈ D(Ω) mit supp ϕ ⊂ K. Insbesondere ist T f von nullter Ordnung.
Wir werden in Zukunft einfach f statt T f schreiben.
2. Jedes Borelmaß µ mit |µ|(K) < ∞ für kompakte K ⊂ Ω ist eine Distribution
nullter Ordnung gemäß ϕ ↦→ ∫ ϕ dµ, denn
(Dies verallgemeinert 1.)
|Tϕ| ≤ |µ|(K)‖ϕ‖ L ∞ (K).
3. Ist x ∈ Ω, so definiert T : D(Ω) → K, Tϕ := ϕ(x) eine Distribution.
Dies ist in der Tat gerade T = δ x , wobei δ x das Diracmaß im Punkte x
bezeichnet:
{
1, x ∈ A,
δ x (A) =
0, x /∈ A.
Nach 2. ist δ x ∈ D ′ (Ω). Speziell für x = 0 schreibt man auch oft einfach δ
statt δ 0 .
4. Ist Ω = (0, 1) ⊂ R, T : D(Ω) → K definiert durch Tϕ = ∑ ∞ d k ϕ
k=2
ist T ∈ D ′ (Ω). T ist jedoch nicht von endlicher Ordnung.
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dx k ( 1 k
), so