Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

zeigt. Diese Funktion ist sogar affin im ersten 2-Minor, aber sicherlich nicht
konvex auf {f 11 = f 22 = 0, f 12 = f 21 }.
Beispiel: Eine Energiedichte W in der Elastizitätstheorie, die zu starke Kompressionen
energetisch bestraft ist z.B.
{
1
W(F) = |F | 2 + ψ(det F), mit ψ(t) =
, t > 0,
t
∞, t ≤ 0.
Dieses W ist polykonvex.
Wir kommen nun zum wesentlichen Unterhalbstetigkeitsresultat für Integranden,
die polykonvex in Du sind:
Theorem 4.13 Es sei f : U×R m ×R m×n → R eine glatte, nach unten beschränkte
Funktion, so dass für fast alle x ∈ U und alle y ∈ R m , z ∈ R m×n
f(x, y, z) = g(x, y, M(z))
für eine geeignete (glatte) Funktion g gilt, die konvex in z sei. Dann ist I schwach
unterhalbfolgenstetig auf W 1,p (U; R m ) für p > n.
Der Beweis verläuft ähnlich wie der Beweis von Lemma 4.5.
Proof. Es sei (u k ) eine Folge mit u k ⇀ u in W 1,p (U; R m ). Es ist zu zeigen,
dass lim inf k→∞ I(u k ) ≥ I(u) gilt. Genau wie im Beweis von Lemma 4.5 sieht
man, dass wir annehmen dürfen, dass lim inf k→∞ I(u k ) = lim k→∞ I(u k ) gilt, dass
u k → u stark in L p und fast überall konvergiert und dass f ≥ 0 ist.
Wir definieren die Mengen A j und B j genau wie im Beweis von Lemma 4.5.
Aus der Polykonvexität von f in z erhalten wir für jedes j:
∫
∫
I(u k ) = f(x, u k , Du k ) dx ≥ f(x, u k , Du k ) dx
U
A j ∩B
∫
j
= g(x, u k , M(Du k )) dx
A j ∩B
∫
j
≥ g(x, u k , M(Du))
A j ∩B j
+ D M(z) g(x, u k , M(Du)) · (M(Du k ) − M(Du)) dx.
Wie im Beweis von Lemma 4.5 ergibt sich daraus nun
∫
∫
lim I(u k) ≥ g(x, u, M(Du)) dx = f(x, u, Du) dx
k→∞
A j ∩B j A j ∩B j
und mit monotoner Konvergenz schließlich
∫
lim I(u k) ≥ lim f(x, u, Du) dx = I(u).
k→∞ j→∞
A j ∩B j
93
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