Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Remark 4.10 Dieser Satz gilt auch für p = ∞, wenn man die schwache durch
schwach*-Konvergenz ersetzt. Das folgt unmittelbar aus der Version für p < ∞
und der Beobachtung, dass M(Du (k) ) in L ∞ beschränkt ist, wenn u (k) schwach*-
konvergiert in W 1,∞ .
Corollary 4.11 Sind u, v ∈ W 1,p (U; R m ) mit u−v ∈ W 1,p
0 (U; R m ) für ein p ≥ r,
so gilt
∫ ∫
M(Du) = M(Dv)
für alle r-Minoren M.
U
Proof. Nach Approximation von u und u −v dürfen wir o.B.d.A. u ∈ C ∞ (U) und
u − v ∈ Cc ∞ (U) annehmen. Wie im Beweis von Satz 4.9 gezeigt gilt
U
M(Dw) =
r∑
∂ js (w it (cof S(Dw)) itj s
)
s=1
für t = 1, . . .,r
(s. Gleichung (4.4)) für glatte Funktionen w. Insbesondere für w = u und w = v
ergibt sich damit
∫ ∫
M(Du) = u it (cof S(Du)) itj s
ν js
U
∂U
∫
∫
= v it (cof S(Dv)) itj s
ν js = M(Dv),
wenn ν die äußere Normale an ∂U bezeichnet.
∂U
Eine Funktion f : R m×n → R mit dieser Eigenschaft, dass ∫ f(Du) nur von
U
den Werten von u auf dem Rand ∂U abhängt, nennt man Null-Lagrangefunktion.
Definition 4.12 (i) Ist F ∈ R m×n , so bezeichne M(F) den aus allen Minoren
von F bestehenden Vektor der Dimension d(m, n) = ∑ min{m,n}
)
r=1 .
U
( m
)( n
r r
(ii) Eine Funktion f : R m×n → R∪{∞} heißt polykonvex, wenn es eine konvexe
Funktion g : R d(m,n) → R ∪ {∞} gibt, so dass
□
f(F) = g(M(F))
∀F ∈ R m×n
gilt.
Insbesondere ist jede konvexe Funktion polykonvex. Die Umkehrung davon
gilt nicht, wenn m, n ≥ 2 ist wie das Beispiel des Minors
F = (f ij ) ↦→ f 11 f 22 − f 12 f 21
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