Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Ist nun umgekehrt ∫ Ω ‖ν x‖ M = |Ω|, dann schließen wir
lim lim inf |{|w k j
| > m + 1}| = 0. (5.5)
m→∞ j→∞
Da auch jede Telfolge von (w kj ) das Young-Maß ν generiert, bleibt diese Aussage
auch für alle Teilfolgen von (w kj ) richtig. Das zeigt, dass sogar
lim sup |{|w kj | > m + 1}| = 0
m→∞
j
gilt: Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es ein ε > 0, natürliche Zahlen m 1 < m 2 <
. . . und Indizes j(m 1 ), j(m 2 ), . . . mit
|{|w kj(mi ) | > m i + 1}| ≥ ε ∀ i.
Da für endlich viele Folgenglieder w k1 , w k2 , . . ., w kN stets
lim
sup
m→∞ j=1,...,N
|{|w kj | > m + 1}| = 0
ist, gilt j(m i ) → ∞ mit m i → ∞. Ggf. nach Übergang zu einer weiteren Teilfolge
ist dann i ↦→ j(m i ) streng monoton in i und wir erhalten eine Teilfolge (w kj (m i )) i
von (w kj ) j mit
lim inf |{|w k | > m + 1}| ≥ ε ∀ m > 0
i→∞ j(mi )
im Widerspruch zu (5.5).
(v) Sei f(w kj ) relativ schwach folgenkompakt in L 1 (A). Mit Hilfe des Satzes
von Dunford-Pettis 3 sieht man leicht, dass dies genau dann der Fall ist, wenn
sowohl f + (w kj ) als auch f − (w kj ) relativ schwach folgenkompakt in L 1 (A) sind.
Wir können also o.B.d.A. f ≥ 0 voraussetzen. Setze f m := θ m f ∈ C c (R d ), wobei
θ m wie in (5.4) definiert ist.
Wir zeigen zunächst, dass für alle ϕ ∈ L ∞ (A)
∫ ∫
ϕf m (w kj ) = ϕf(w kj ) (5.6)
lim
m→∞
gleichmäßig in j gilt: Da f ≥ 0 ist, gilt
∫
∣ ϕ ( f m (w kj ) − f(w kj ) )∣ ∫
∣∣ ≤ C
A
∫
∫
≤ C f(w kj ) + C
≤ C sup
j
{f(w kj )≥M}
∫
A
{f(w kj )≥M}
A
{|w kj |≥m}
f(w kj )
{|w kj |≥m,f(w kj )