Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

4. Die Funktion x ↦→ e x2 liegt nicht in S ′ (aber in D ′ (R n )). (Übung.)
Definition 2.50 Eine Folge von temperierten Distributionen T n konvergiert in S ′
gegen T ∈ S ′ , wenn T n ϕ in C gegen Tϕ konvergiert für alle ϕ ∈ S.
Genau wie für D ′ definiert man die Ableitungen ∂ α T, die Reflektion Ť und
die Verschiebung τ h T für T ∈ S: Zur Motivation bemerkt man zunächst, dass
für f ∈ L 1 loc , ϕ ∈ D(Rn ) gilt
∫ ∫
∫
∫
τ h f ϕ = f(x − h) ϕ(x) dx = f(x) ϕ(x + h) dx = f τ −h ϕ,
∫ ∫
∫
∫
ˇf ϕ = f(−x) ϕ(x) dx = f(x) ϕ(−x) dx = f ˇϕ.
Dies erhebt man nun zur Definition:
Definition 2.51 Für T ∈ D ′ (R n ) oder T ∈ S definiert man die Distributionen
(bzw. temperierten Distributionen) τ h T und Ť durch
τ h T(ϕ) := T(τ −h ϕ), Ť(ϕ) := T(ˇϕ) ∀ ϕ ∈ D(R n ) bzw. S.
Man muss sich davon überzugen, dass diese Ausdrücke als Elemente von
D ′ (R n ) bzw. S ′ wohldefiniert sind. Das ist aber einfach.
Die Multiplikation mit glatten Funktionen ist jedoch i.A. nur auf D ′ (R n )
wohldefiniert. (Z.B. ist 1 ∈ L ∞ ⊂ S ′ aber e x2 = e x2 · 1 /∈ S ′ .)
Lemma 2.52 Es sei ϕ ∈ C ∞ , so dass jede Ableitung ∂ α ϕ höchstens polynomiell
divergiert: Es gibt Konstanten C = C(α), N = N(α), so dass
Dann ist ϕT wohldefiniert.
|∂ α ϕ(x)| ≤ C(1 + |x| N ) ∀ x ∈ R n .
Proof. Für ψ ∈ S und Multiindizes α und β ist
|x α ∂ β (ϕψ)(x)| =
∑ ( )
β ∣ xα ∂ γ ϕ(x)∂ β−γ ψ(x)
γ
∣
γ≤β
≤ ∑ ( β
C(γ)(1 + |x|
γ)
N(γ) )|x α ∂ γ ψ(x)|
γ≤β
≤ C‖ψ‖ N
für C und N (nur von α, β abhängend) groß genug. Dies zeigt ϕψ ∈ S und
ψ k → ψ in S =⇒ ϕψ k → ϕψ in S.
□
Beispiel: Insbesondere darf man temperierte Distributionen also mit Polynomen
und Funktionen der Form x ↦→ e ia·x , a ∈ R n , oder auch (1 + |x| 2 ) s , s ∈ R,
multiplizieren.
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