Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Das beendet den Beweis von (iii) und zeigt außerdem (iv).
Wir erinnern hier noch an die Tatsache, dass F : S → S sich zu einer linearen
Isometrie F : L 2 (R n ) → L 2 (R n ) fortsetzt.
Wie in der Theorie der Fouriertransformation üblich betrachten wir komplexwertige
Funktionen.
Definition 2.48 Eine lineare Abbildung T : S → C ist eine temperierte Distribution
(man schreibt T ∈ S ′ ), wenn
ϕ k → ϕ in S =⇒ Tϕ k → Tϕ in C.
Wegen D(R n ) ⊂ S und ϕ k → ϕ in D(R n ) =⇒ ϕ k → ϕ in S gilt S ′ ⊂ D ′ (R n ).
(Genauer: T | D(R n ) ∈ D ′ (R n ) für alle T ∈ S ′ .) Da D(R n ) dicht in S liegt (Übung!),
gilt sogar S ′ ֒→ D(R n ).
Theorem 2.49 Es sei T : S → C eine lineare Abbildung. T ist genau dann eine
temperierte Distribution, wenn C > 0 und N ∈ N existieren, so dass
□
|Tϕ| ≤ C‖ϕ‖ N
∀ ϕ ∈ S
gilt.
Proof. Dass die Bedingung hinreichend für T ∈ S ′ ist, ist klar.
Um die Notwendigkeit zu beweisen, nehmen wir an, es gäbe zu jedem k ∈ N
ein ϕ k ∈ S, so dass
|Tϕ k | > k‖ϕ k ‖ k
gilt. O.B.d.A. ist zudem Tϕ k = 1 für alle k. (Multipliziere mit geeigneten
Skalaren.) Für jedes k 0 ∈ N ist dann aber
1 > k‖ϕ k ‖ k ≥ k‖ϕ k ‖ k0 ∀ k ≥ k 0 ,
so dass lim k→∞ ‖ϕ k ‖ k0 = 0. Dies zeigt ϕ k → 0 in S. Jedoch konvergiert Tϕ k = 1
nicht gegen 0.
□
Beispiele:
1. L p ⊂ S ′ für alle 1 ≤ p ≤ ∞, nicht jedoch L p loc
, wie 4. zeigen wird.
2. Alle Polynome liegen in S ′ : Für ϕ ∈ S, p ein Polynom gilt | ∫ p ϕ| ≤
‖pϕ‖ L 1 ≤ C‖ϕ‖ N für hinreichend großes N.
3. Endliche Borel-Maße µ sind temperierte Distributionen gemäß ϕ ↦→ ∫ ϕ dµ,
denn es gilt ∣∫
∣∣∣ ϕ dµ
∣ ≤ |µ|(Rn )‖ϕ‖ L ∞.
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