Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

da
∫ ∞
0
(1 + r 2 ) m−s r n−1 dr < ∞
ist für 2(m − s) + n − 1 < −1 ⇐⇒ s > m + n 2 .
Wir erwähnen noch, wie man H s -Distributionen auf allgemeineren Gebieten
Ω erklärt. Beachte, dass f ↦→ ϕf ein stetiger Operator auf allen H s ist für ϕ ∈ S.
Für Ω ⊂ R n offen setzt man
H s loc (Ω) := {T ∈ D′ (Ω) : ∀ U ⊂⊂ Ω ∃f ∈ H s (R n ) mit T = S auf U}.
Es gilt dann T ∈ H s loc (Ω) ⇐⇒ ϕT ∈ Hs (R n ) ∀ ϕ ∈ D(Ω).
Wie für natürliche Exponenten definiert man
H s 0 (Ω) := C∞ c (Ω)
(Abschluss in der H s -Norm).
Ist schließlich ∂Ω hinreichend gutartig (z.B. Lipschitz), so kann man auch
H s (Ω) durch Einschränkung auf Ω definieren.
2.9 Compensated compactness
In the quadratic case the Legendre-Hadamard condition even turns out to be
sufficient.
Theorem 2.61 Let M ∈ R m×m be a symmetric matrix and set
f(a) = a T Ma for a ∈ R m .
□
Assume that
⎧
⎪⎨
( ˜H)
⎪⎩
u (ν) ⇀ u in L 2 (Ω; R m ),
f(u (ν) ) ⇀ l
Au (ν) =
( ∑
j,k
in D ′ (Ω),
)
∂u (ν)
j
∂x k
i=1,...,q
is compact in W −1,2
loc
(Ω).
Then l ∈ M and the following implications hold true.
(i) If f(λ) ≥ 0 ∀ λ ∈ Λ, then l ≥ f(u) (as measures).
(ii) If f(λ) = 0 ∀ λ ∈ Λ, then l = f(u).
Recall that
{
Λ = λ ∈ R m : ∃ ξ ∈ R n \ {0}
44
s.t.
}
∑
a ijk λ j ξ k = 0 ∀i .
j,k