Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Theorem 5.3 Es seien U ⊂ R n offen und beschränkt mit C 1 -Rand und 1 < p <
∞. f erfülle eine p-Wachstumsbedingung der Form
c 1 |F | − c 2 ≤ f(F) ≤ c 2 (1 + |F | p ).
Dann gilt für das relaxierte Funktional I rel (u) := ∫ U fqk (Du(x)) dx:
inf I = min I rel .
A g A g
Des Weiteren ist ū ein Minimierer von I rel genau dann, wenn ū (W 1,p -schwacher)
Häufungspunkt einer minimierenden Folge für I ist.
Dreh- und Angelpunkt zum Beweis dieses Satzes ist das folgende Lemma, das
in Verbindung mit Satz 4.24 zeigt, dass I rel die (W 1,p -schwach-) unterhalbstetige
Einhüllende von I ist.
Lemma 5.4 Unter den Voraussetzungen von Satz 5.3 gilt: Ist u ∈ W 1,p , so gibt
es eine Folge (u k ) mit u k − u ∈ W 1,p
0 und
u k ⇀ u in W 1,p
sowie I(u k ) → I rel (u).
Proof. Wähle U j ′′ ⊂⊂ U j ′ ′′
⊂⊂ U mit |U \ U j | → 0 für j → ∞. Ähnlich wie im
Beweis von Satz 4.24 konstruieren wir v j , so dass v j stückweise affin auf U j ′′ und
gleich u auf U \ U j ′ ist. Wir dürfen zudem annehmen, dass Dv j → Du in L p (U)
konvergiert.
Es seien U j,i ⊂ U j ′′ disjunkte offene Mengen mit |U j ′′ \ ⋃ i U j,i| = 0, auf denen
v j affin ist. Wähle ε j → 0, ϕ j,i ∈ W 1,∞
0 (U i ) (durch 0 auf U fortgesetzt), so dass
auf U j,i gilt
∫
f qk (Dv j ) ≥ − f(Dv j + Dϕ j,i ) − ε j
U j,i
(vgl. Satz 5.2). Dann ist ϕ j := ∑ i ϕ j,i ∈ W 1,∞
0 (U) und
∫
f qk (Dv j ) = ∑ ∫ ∫
|U j,i |− f qk (Dv j ) ≥ f(Dv j + Dϕ j ) − ε j |U|. (5.2)
U j
′′
i U j,i U j
′′
Setze nun u j := v j + ϕ j . Offensichtlich ist u j − u ∈ W 1,p
0 . Des Weiteren ist
wegen Dv j → Du in L p
lim
j→∞
∫
U ′′
j
∫
f qk (Dv j ) = lim f
j→∞
∫U
qk (Dv j ) = f qk (Du) = I rel (u). (5.3)
U
Wegen (5.2) und da ϕ j auf U \ U j ′′ verschwindet, folgt nun aus der Wachstumsbedingung
an f, dass
∫ ∫
c 1 ‖u j ‖ p L p (U) − c 2|U| ≤ I(u j ) =
U ′′
j
105
f(Du j ) +
U\U ′′
j
f(Dv j ) ≤ C