Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Definition 2.16 Es seien ϕ, ϕ 1 , ϕ 2 , . . . ∈ D(Ω). Wir sagen (ϕ k ) konvergiert in D(Ω)
gegen ϕ, wenn es ein Kompaktum K ⊂ Ω gibt, so dass supp ϕ k ⊂ K gilt für alle
k ∈ N und ∂ α ϕ k → ∂ α ϕ gleichmäßig auf Ω konvergiert für jeden Multiindex α.
Beachte: Dies definiert eine äußerst starke Konvergenz auf D. Eine Folge
konvergiert nur dann, wenn es ein Kompaktum gibt, außerhalb dessen alle Funktionen
verschwinden, und wenn alle Ableitungen gleichmäßig konvergieren.
Theorem 2.17 Eine lineare Abbildung T : D(Ω) → K ist genau dann eine Distribution,
wenn gilt
ϕ k → ϕ in D(Ω) =⇒ Tϕ k → Tϕ in K.
Da die Konvergenz in D(Ω) sehr stark ist, zeigt dieser Satz, dass die Stetigkeitsbedingung
für Distributionen eine sehr schwache Bedingung ist.
Proof. Sei T ∈ D ′ (Ω), ϕ k → ϕ in D(Ω). Nach Definition existiert ein Kompaktum
K ⊂ Ω, so dass supp ϕ k ⊂ K ist für alle k und ∂ α ϕ k → ∂ α ϕ gleichmäßig auf Ω
konvergiert für jedes α. Dann aber ist auch supp ϕ ⊂ K und
∑
|Tϕ k − Tϕ| ≤ C K
|α|≤N K
‖∂ α (ϕ k − ϕ)‖ L ∞ (K) → 0.
Ist nun umgekehrt T /∈ D ′ (Ω), so gibt es ein Kompaktum K ⊂ Ω, so dass zu
jedem k ∈ N eine Testfunktion ϕ k ∈ D(Ω) mit supp ϕ k ⊂ K und
|Tϕ k | ≥ k ∑
‖∂ α ϕ k ‖ L ∞
|α|≤k
existiert. Nach Multiplikation mit einem geeignetem Skalar können wir o.B.d.A.
|Tϕ k | = 1 für alle k annehmen. Dann aber folgt ∂ α ϕ k → 0 gleichmäßig für jedes
α und damit ϕ k → 0 in D(Ω). Wegen |Tϕ k | = 1 für alle k gilt jedoch nicht
Tϕ k → 0 = T0.
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Definition 2.18 Wir sagen eine Folge von Distributionen T n konvergiert in D ′ (Ω)
gegen eine Distribution T, wenn T n ϕ → Tϕ in K konvergiert für alle ϕ ∈ D(Ω).
Beispiel: Ist η ε , ε > 0, der skalierte Standardglättungskern, so gilt η ε → δ in
D ′ (R n ) mit ε → 0. (Beachte η ε (ϕ) = ∫ η ε (x)ϕ(x) dx = η ε ∗ ϕ(0) → ϕ(0) für
ϕ ∈ D(R n ).)
Um die Definition der Ableitung einer Distribution zu motivieren, überlegen
wir zunächst, wie die Ableitung ∂ α einer (schwach) differenzierbaren Funktion
f : Ω → K als Distribution wirkt: Für alle ϕ ∈ D(Ω) ist
∫
∫
∂ α f ϕ = (−1) |α| f ∂ α ϕ.
Wir definieren daher:
Ω
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Ω