Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

Da f nach unten beschränkt ist, können wir nach Addition mit einer geeigneten
Konstanten annehmen, dass f ≥ 0 gilt. Aus der Konvexität von f in z erhalten
wir für jedes j:
∫
∫
I(u k ) = f(x, u k , Du k ) dx ≥ f(x, u k , Du k ) dx
U
A j ∩B
∫
j
≥ f(x, u k , Du) + D z f(x, u k , Du) · (Du k − Du) dx.
A j ∩B j
Auf A j ∩B j konvergieren nun f(x, u k , Du) und D z f(x, u k , Du) gleichmäßig gegen
f(x, u, Du) bzw. D z f(x, u, Du). Da zudem Du k schwach gegen Du konvergiert,
ergibt sich
∫
m = lim I(u k ) ≥ f(x, u, Du) dx.
k→∞
A j ∩B j
Da f ≥ 0 vorausgesetzt ist, folgt nun mit monotoner Konvergenz (wegen
A j+1 ∩ B j+1 ⊃ A j ∩ B j )
∫
m ≥ lim f(x, u, Du) dx = I(u).
j→∞
A j ∩B j
Corollary 4.6 Es sei f : U × R m × R m×n → R eine glatte Funktion, die die
Wachstumsbedingung
f(x, y, z) ≥ c 1 |z| p − c 2
für geeignete Konstanten c 1 > 0, c 2 ∈ R, p ∈ (1, ∞) erfülle, so dass
z ↦→ f(x, y, z)
konvex ist für alle x ∈ U, y ∈ R m . Dann existiert ein u ∈ A mit
I(u) = inf
v∈A I(v).
Proof. Das folgt mit der direkten Methode aus Lemma 4.4 und Lemma 4.5.
Insbesondere ist der Minimierer nach Satz 4.2 eine schwache Lösung der
Euler-Lagrange-Gleichungen unter geeigneten Wachstumsbedingungen an f und
D (y,z) f.
Beispiel: Um einzusehen, dass Konvexität i.A. eine zu starke Annahme ist, betrachten
wir wieder das Energiefunktional
∫
E(y) = W(Dy)
U
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