Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential ...

2. Allgemeiner sei h ∈ L 1 loc (Rn ) periodisch mit Einheitszelle [0, 1] n , d.h. f(x+
z) = f(x) für alle z ∈ Z. Definiere w k : [0, 1] n → R durch w k (x) := h(kx).
Dann gilt für alle f ∈ C 0 (R) (Übung)
∫
f(w k ) ⇀ ∗ const. = f(h(z)) dz in L ∞ ([0, 1] n ).
[0,1] n
(w k ) generiert also das homogene Young-Maß ν, wobei ν x das Bildmaß des
Lebesgue-Maßes auf [0, 1] n unter der Abbildung h ist:
ν x (A) = |(h| [0,1] n) −1 (A)| = |[0, 1] n ∩ h −1 (A)|
∀x.
3. Wir können nun insbesondere die eingangs gestellten Fragen nach universellen
Eigenschaften von minimierenden Folgen des Funktionals
I(u) =
∫ 1
0
((u ′ ) 2 − 1) 2 + u 2 , u ∈ W 1,4
0
rigoros beantworten. Sei (u k ) eine solche minimierende Folge, w k := u ′ k .
Dann gibt es eine Teilfolge (w kj ) die ein Young-Maß ν induziert. Da (w k )
beschränkt in L 4 ist, gilt ‖ν x ‖ M = 1 f.f.a. x (s. Bemerkung 5.8,3 mit Φ(t) =
t 4 ).
Zu ε > 0 wähle nun δ > 0, so dass (x 2 −1) 2 < δ =⇒ max{|x−1|, |x+1|} <
ε. Dann gilt
|{dist(w kj , {−1, 1}) ≥ ε}| ≤ |{(w 2 k j
− 1) 2 ≥ δ}|
≤ 1 δ
∫ 1
0
(w 2 k j
− 1) 2 ≤ 1 δ I(u k j
) → 0
mit j → ∞. Dann aber folgt aus Satz 5.6(iii) supp ν x ⊂ {−1, 1} f.f.a. x.
Zusammenfassend können wir festhalten, dass es λ(x) ∈ [0, 1] gibt, so dass
ν x = λ(x)δ −1 + (1 − λ(x))δ 1
ist.
Aus Bemerkung 5.8,4 folgt nun
u ′ k j
= w kj ⇀ w in L 4
mit
∫
w(x) = 〈ν x , id〉 = y dν x (y) = −λ(x) + (1 − λ(x)) = 1 − 2λ(x).
R
114