antriebstechnik 3/2018

Übersetzungsverhältnisses i und des Teilkreisradius r des Ritzels
lässt sich das Drehmoment M ZRA
entsprechend Gl. (6) in die vom
ZRA aufgebaute Gegenkraft F ZRA
umrechnen.
Die Verformung dx wird anhand der Differenz zwischen Motorund
Tischposition x ZRA
– x Tisch
bestimmt. So wird nur die Verformung
des Antriebsstrangs inklusive der Anschlusskonstruktion am Versuchsstand
gemessen.
Die Verläufe der durch den LDA erzeugten Kraft F LDA
, der Gegenkraft
F ZRA
und der resultierenden Positionsänderungen der einzelnen
Messsysteme von Schneeberger (sb) und Attocube (ac) sind in
Bild 09 dargestellt. Die Kraft wird innerhalb von 50 s rampenförmig
bis zu einem Maximalwert von ca. 7 230 N auf- und abgebaut. Anschließend
wird sie in die andere Richtung auf- und abgebaut. Die
Gegenkraft F ZRA
wirkt entgegen der antreibenden Kraft F LDA
und hält
den Tisch in Ruhelage. Dies verdeutlicht der Positionsverlauf x ZRA
.
F ZRA
ist kleiner als F LDA
, da die Reibung im System einen Anteil der
Kraft kompensiert. Für die Berechnung der Steifigkeit wird F ZRA
verwendet,
da diese Kraft eine direktere Verformung des Antriebsstrangs
verursacht als F LDA
.
Bild 10 zeigt die Verformungen des einzelnen ZRA in Abhängigkeit
von der Kraft, die der Motor zum Halten der Ruhelage erzeugt.
Es sind die Kurven für alle vier am Maschinentisch verbauten direkten
Messsysteme gezeigt. Die Messung von x sb,1
zeigt die geringste
Verformung und somit die höchste Steifigkeit. Dies ist plausibel, da
das zugehörige Messsystem direkt neben dem Ritzel angebracht ist.
Die anderen Messsysteme sind im Kraftfluss weiter von der Eingriffsstelle
Ritzel-Zahnstange entfernt, sodass die Messung durch
zusätzliche Verformung der Mechanik beeinflusst wird. Für die
Auswertung der Steifigkeit wird daher auf die Messungen von x sb,1
zurückgegriffen und die Steifigkeit im Bereich von 70 bis 100 % der
maximalen Kraft bestimmt. Hier ist der Kurvenverlauf nahezu
li near. Bei niedriger Belastung ist der Gradient und somit die Verformung
pro Kraft größer, da zwischen Lagerlaufbahnen und Wälzkörpern
sowie zwischen den Zahnflanken der Verzahnungsteile
erst bei höherer Kraft ein optimales Tragbild ausgebildet wird und
Reibungseffekte an Einfluss verlieren. Der ZRA mit RP+-Getriebe
zeichnet sich durch ein nahezu richtungsunabhängiges Steifigkeitsverhalten
ohne einen Steifigkeitssprung bei Richtungsumkehr aus.
Die statische Steifigkeit des einzelnen, am Versuchsstand montierten
ZRA und der ihn umgebenden Anschlusskonstruktion des Prüfstandes
beträgt ca. 84,5 N/µm.
Die statische Gesamtsteifigkeit des elektrisch verspannten ZRA
ist doppelt so groß, da zwei Antriebsstränge parallel angeordnet
sind und somit doppelten Widerstand gegen Verformung leisten.
Der Betrag der elektrischen Verspannung hat keinen Einfluss auf
den Betrag der Steifigkeit. Allerdings verändert er den Verlauf bei
Richtungsumkehr. Näheres dazu ist in [10] beschrieben.
Die dynamische Steifigkeit beschreibt die frequenzabhängige
Steifigkeit des Systems, d. h. die Steifigkeit bei einer bestimmten
Frequenz. Der Kehrwert der dynamischen Steifigkeit lässt sich im
02
Charakteristische Größen der Frequenzgangmessung
Konfiguration Belastung charakt.
Eigenfrequenz [Hz]
dynamische Steifigkeit
[N/μm]
ω 0,N
ω 0,M
k(ω 0,N
) k(ω 0,M
)
einzelner ZRA leicht 61 50 44,3 41,4
schwer 58 33 68,8 43,3
elektr. ver- leicht 100 89 139 131
spannter ZRA
schwer 74 60 148 143
so genannten Nachgiebigkeitsfrequenzgang G N
(jω) darstellen. Für
den von einem einzelnen ZRA angetriebenen Maschinentisch lässt
sich dieser aus der systemtheoretischen Beschreibung eines 2-Massen-Schwingers
herleiten. Gl. (7) beschreibt die Nachgiebigkeitsübertragungsfunktion
G N
(s). Neben den Positionen der beiden
Massen x ZRA
und x Tisch
und der anregenden Kraft F enthält diese das
Übersetzungsverhältnis i des Getriebes, den Teilkreisradius r des
Ritzels, die Federsteifigkeit k, die Dämpfungskonstante d sowie die
Tischmasse m Tisch
und das massenäquivalente Trägheitsmoment
J ZRA
des ZRA.
Anhand der Übertragungsfunktion kann die Eigenfrequenz ω 0,N
entsprechend Gl. (8) berechnet werden. Die Eigenfrequenz ω 0,N
gibt die Frequenz der größten Nachgiebigkeit bzw. der geringsten
Steifigkeit an.
Neben G N
(jω) kann auch der Zusammenhang zwischen den Positionen,
der so genannte Mechanikfrequenzgang G M
(jω), betrachtet
werden. Dieser lässt sich anhand der in Gl. (9) dargestellten Übertragungsfunktion
G M
(s) berechnen. Die für G M
(s) geltende Eigenfrequenz
ω 0,M
wird anhand von Gl. (10) berechnet. Der Mechanikfrequenzgang
erlaubt zwar keine direkte Aussage über die Steifigkeit.
Für die Erzeugung des Frequenzgangs wird die Messung der
Antriebskraft, die einer gewissen Ungenauigkeit unterliegt, allerdings
nicht benötigt.
Die Messung der Frequenzgänge erfolgt, indem das System mit
einem PRBS-Rauschen plus Offset angeregt wird. Dieses Signal regt
alle Frequenzen im betrachteten Spektrum mit der gleichen Leistungsdichte
an. Das Offset verhindert eine Beeinflussung der Messung
durch die Umkehrspanne. Die aufgezeichneten Signale werden
mittels Fourier-Transforma tion in Frequenzspektren umgerechnet,
anhand derer sich die Übertragungsfunktionen berechnen
lassen. Aus den Übertragungsfunktionen wird der Amplituden- und
der Phasengang bestimmt. Es ergeben sich die in Bild 11 dargestellten
Frequenzgänge des einzelnen ZRA und die in Bild 12 dargestellten
Frequenzgänge des elektrisch verspannten ZRA, jeweils mit
und ohne zusätzlichem Gewicht von 500 kg. Die Verspannung beträgt
40 % des Nennmoments der eingesetzten Motoren. Die Abhängigkeit
des Frequenzverhaltens vom Betrag der Verspannung
wurde bereits in [10] untersucht.
Tabelle 02 zeigt die aus den Frequenzgängen abgeleiteten charakteristischen
Größen für den einzelnen und den elektrisch verspannten
ZRA mit und ohne zusätzlichem Gewicht von 500 kg. Die
charakteristischen Eigenfrequenzen lassen sich aus den Phasenverläufen
bei einer Phasendifferenz von 90° ablesen. Die Eigenfrequenzen
zeigen die Resonanz des Systems und somit die geringsten
(9)
(10)
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