THESE - Université Ferhat Abbas de Sétif

Chapitre I Théorie des faisceaux lasers et interférogrammes
Figure I.4: Section transversale des modes laser Hermite-Gauss.
Les solutions de l'équation d'onde paraxiale obtenues par la méthode de séparation des
variables en coordonnées cylindriques prennent plutôt la forme suivante [1-5] :
Avec:
E
l
l
E L
p,
l , 0
p exp expil
(I.5)
2
E0 est une constante complexe,
2
W
0
2 2
2
W
0
2
W
l
L p est un polynôme de Laguerre généralisé d'ordres (p, l)
et W0 est la taille minimale du faisceau. Ces solutions représentent les faisceaux Laguerre-
Gauss. L'indice p est l'ordre radial et l'indice l est l'ordre azimutal. Les ordres ±\l\ peuvent
être superposés pour donner des faisceaux Laguerre-Gauss présentant \l\ lignes nodales
radiales. La solution (1.5) s'exprime alors comme suit:
0 2 2
Avec 2 W
l
2
2
2
l 2
E p,
l , E
0 L p exp cosl
2
2
W
0 W
(I.6)
0 W
L p représente le polynôme de Laguerre d'ordre p, il est défini comme suit:
- La relation de récurrence est:
- Le développement en série est:
Lx2n1 xL
x nL x n 1 n1 n
n1
L
p
n
n!
x
r
x1
r0
nr ! r!
r
2
8