Algorithmes de calcul formel - Free

définit de manière récursive les coefficients[Y ] = Y, [Y 0 , ..., Y n ] = [Y 1, ..., Y n ] − [Y 0 , ..., Y n−1 ]Y n − Y 0Le polynome d’interpolation est alors donné par :P(x) = [y 0 ]+[y 0 , y 1 ](x−x 0 )+[y 0 , y 1 , y 2 ](x−x 0 )(x−x 1 )+...+[y 0 , ..., y n ](x−x 0 )..(x−x n−1 )Pour la preuve, cf. par exemple Demailly.11.3 Les splinesIl s’agit de fonctions définies par des polynomes de degré borné sur des intervalles,dont on fixe la valeur aux extrémités des intervalles (comme pour le polynomede Lagrange) ce qui rend la fonction continue, de plus on exige un degréde régularité plus grand, par exemple etre de classe C 2 . Enfin, on fixe des conditionsaux bornes de la réunion des intervalles, par exemple avoir certaines dérivéesnulles.Par exemple supposons qu’on se donne n intervalles, donc n+1 points x 0 , ..., x n ,on se fixe une régularité C d−1 . Ceci entraine (n − 1)d conditions de recollement,on y ajoute n + 1 conditions de valeur en x 0 , ..., x n , on a donc nd + 1 conditions,la borne sur le degré des polynomes doit donc etre d (ou plus, mais d suffit) cequi donne n(d + 1) degrés de liberté, on peut donc ajouter d − 1 conditions, parexemple pour les splines naturelles, on impose que les dérivées d’ordre d/2 à d −1soient nulles en x 0 et x n (si d est pair, on commence à la dérivée d/2 + 1-ièmenulle en x n ).Pour trouver les polynomes, on doit donc résoudre un grand système linéaire.Une méthode permettant de diminuer la taille du système linéaire à résoudre dans lecas des splines naturelles consiste à se fixer n inconnues z 0 , .., z n−1 représentant lesdérivées d-ième de la spline f en x 0 sur [x 0 , x 1 ] à x n−1 sur [x n−1 , x n ], et (d−1)/2inconnues f j , représentant la valeur de la dérivée de f en x 0 pour j variant de 1 à(d − 1)/2. On peut alors écrire le polynome sur l’intervalle [x 0 , x 1 ] car on connaitson développement de Taylor en x 0 . On effectue un changement d’origine (parapplication répétée de Horner) en x 1 . On obtient alors le polynome sur [x 1 , x 2 ] enremplaçant uniquement la dérivée d-ième par z 1 . On continue ainsi jusqu’en x n−1 .Le système s’obtient en calculant la valeur du polynome en x 0 , ..., x n et la nullitédes dérivées d’ordre (d − 1)/2 à d/2 en x n . On résoud le système et on remplacepour avoir les valeurs numériques des coefficients du polynome.101