Algorithmes de calcul formel - Free

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C’est une équation du même type mais avec deg(H)=deg(N)-deg(R) ou H = 0(si N = V ). Donc si deg(R) > 0, au bout d’un nombre fini d’étapes on doit tombersur un second membre nul ou des simplifications de R avec S + R ′ telles que Rsimplifié soit constant en Z.RésolutionSi R est constant par rapport à Z, on simplifie par R et on doit résoudreN ′ + SN = TSi S = 0, c’est un problème d’intégration. Supposons donc que S ≠ 0. Si S estnon constant par rapport à Z ou si Z = x, le degré de N ′ est strictement inférieurau degré de SN, on peut donc facilement résoudre. Reste le cas où S = b estconstant non nul par rapport à Z et Z est une exponentielle ou un logarithme.Si Z = exp(z)On a alors doit alors résoudreN ′ k + kN kz ′ + bN k = T kc’est une équation différentielle de Risch mais avec une variable de moins.Si Z = ln(z)On doit alors résoudreN k ′ + (k + 1)N z ′k+1z + bN k = T kc’est aussi une équation différentielle de Risch avec une variable de moins.ExempleVoyons comment on intègre x n avec n un paramètre par l’algorithme de Risch(cela illustre les possibilités couvertes par l’algorithme mais aussi l’efficacité desméthodes traditionnelles d’intégration lorsqu’elles s’appliquent). On écrit d’abordx n = e n ln(x) , donc la tour de variables est {x, Z = ln(x), X = e n ln(x) }, il s’agitdonc d’intégrer X qui est un polynôme généralisé. On cherche donc A 1 solutionde l’équation différentielle de RischA ′ 1 + n/xA 1 = 1Par rapport à Z = ln(x) la fonction f = n/x est un polynôme, donc on applique ledernier cas ci-dessus, A 1 est aussi indépendant de ln(x) et on se ramène à résoudrela même équation mais avec comme variable principale x et non Z. Cette fois,il y a un dénominateur x en f. Si A 1 possède un dénominateur, il faut qu’il yait annulation du terme de plus bas degré en x car le second membre n’a pas dedénominateur, on obtient n + α = 0 qui n’a pas de solution, donc A 1 est unpolynôme en x et l’équation se réécrit en :xA ′ 1 + nA 1 = xOn majore alors le degré en x de A 1 par 1, car il ne peut pas y avoir d’annulationde terme de plus grand degré. Ensuite, on peut appliquer l’algorithme SPDE deRothstein pour réduire le degré, ou ici conclure à la main, x divise nA 1 donc A 1 =Cx qu’on remplace et C = 1/(n + 1). Finalement, A 1 = x/(n + 1) et ∫ x n =x/(n + 1)x n .78
9.4 Quelques références– M. Bronstein :Symbolic Integration I, Transcendental functions, Springer– M. Bronstein :Integration tutorial,http://www-sop.inria.fr/cafe/Manuel.Bronstein/publications/mb_papers.– J.H. Davenport, Y. Siret, E. Tournier :Calcul formel : Systèmes et algorithmes de manipulations algébriques– R. Risch :les références des articles originaux de Risch sont dans le “Integration tutorial”de Bronstein.– B. Trager :PHD thesis MIT, 1984– On peut lire en clair le code source de l’implémentation en MuPAD (sousUnix, désarchiver le fichier lib.tar du répertoire /usr/local/MuPAD/share/libet regarder dans le sous-répertoire lib/INTLIB)10 Algèbre linéaireOn présente ici des algorithmes autour de la résolution exacte de systèmes(réduction des matrices sous forme échelonnée) et la recherche de valeurs propreset de vecteurs propres (diagonalisation et jordanisation des matrices).10.1 Résolution de systèmes, calcul de déterminant.10.1.1 La méthode du pivot de Gauß.– Le pivot : on détermine à partir d’une ligne i la ligne j où apparait le premiercoefficient non nul p dans la colonne à réduire. On échange les lignes i et j.Puis pour j > i (réduction sous-diagonale) ou j ≠ i (réduction complète),on effectue l’opération L j ← L j − p jp L i.Inconvénient : avec des données exactes de taille non bornée, la complexitédes coefficients augmente plus vite qu’en choisissant le pivot le plus simplepossible, (remarque, lorsque les données sont approchées, on n’utilise pasnon plus cette méthode pour des raisons de stabilité numérique). Le domained’utilisation naturel concerne donc les coefficients dans un corps fini (parexemple Z/nZ).– Le pivot partiel. On choisit le meilleur coefficient non nul de la colonne,où meilleur dépend du type de coefficient : avec des données exactes, onchoisirait le coefficient de taille la plus petite possible, avec des données approximatives,on choisit le coefficient de plus grande norme dans la colonne.Le domaine d’utilisation naturel concerne les coefficients approchés. Pourles coefficients exacts, on remplacerait la réduction par L j ← pL j − p j L ipour ne pas effectuer de division. Mais avec cette méthode, la taille des coefficientsaugmente de manière exponentielle. On peut améliorer la tailledes coefficients intermédiaires en divisant chaque ligne par le PGCD de sescoefficients, mais comme pour le calcul du PGCD par l’algorithme du sousrésultant,il existe une méthode plus efficace présentée ci-dessous.79
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10.2.1 Le polynôme minimal . . . .
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Lisp). Certaines fonctions doivent
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1.2 Structures de donnéesOn a vu p
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fixée d’objets. On place les obj
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- Les tests de pseudo-primalité. I
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6. Calculer la valeur de a := exp(
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p:=lgcd(P); // pgcd des elements de
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Théorème 1 Soit P et Q deux polyn
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˜D = D puisque degre( ˜D) = degre
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